《分數維拉普拉斯方程中的若干問題》是依託深圳大學，由余曉輝擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分數維拉普拉斯方程中的若干問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：余曉輝
- 依託單位：深圳大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
關於分數維拉普拉斯方程，目前已經有了大量的研究。由於分數維拉普拉斯運算元是非局部運算元，因此研究的方法也與拉普拉斯方程的研究方法不一樣。研究全空間上的這類問題的通常做法是將方程化為積分方程，而有界區域上的研究方法是把方程延拓到高一維空間。本文擬研究的問題是：1、分數維拉普拉斯方程的劉維爾型定理以及具有Hardy-Sobolev項的劉維爾型定理。2、分數維拉普拉斯方程的Hardy-Sobolev常數的達到函式與正解的唯一性（在相差一個伸縮變換的意義下）。3、有界區域上的臨界分數維拉普拉斯方程的正解的存在性。4、有界區域上臨界分數維拉普拉斯方程高能量解的存在性。5、臨界分數維拉普拉斯方程無窮多個解的存在性。6、臨界分數維拉普拉斯方程無窮多個變號解的存在性。我們希望通過對這些問題的研究，更準確地掌握分數維拉普拉斯方程的性質。
結題摘要
本項目成員經過三年努力，主要解決了一下幾類問題。1、證明了分數次拉普拉斯方程正解的非存在性問題，也就是劉維爾型定理。2、研究了具有變號權的分數次拉普拉斯方程解的存在性與非存在性問題。3、研究了Heisenberg群上的次橢圓方程正解的非存在性問題。4、證明了一些具有非線性邊值條件的橢圓方程以及混合邊值條件的橢圓方程正解的非存在性定理。5、研究了幾類橢圓方程莫爾斯指數有限解的非存在性問題。6、證明了幾類臨界橢圓方程解的存在性結果。此外在完全非線性方程解的劉維爾型定理方面以及解的衰減性估計方面還有一些研究成果。截止目前，已經在國際期刊上發表論文 12 篇，另外還有3篇正在審稿中。我們基本上按原計畫實現了項目的目標並有所拓展， 為下一步工作打下了基礎。
