定義
假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分,分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣,也就是說:
這是一個
p×
p的矩陣。
舒爾補得名於數學家伊賽·舒爾,後者用舒爾補來證明
舒爾引理。然而,舒爾補的概念在之前就曾經被使用過。
背景
舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的
初等變換操作後得到的矩陣,其轉換矩陣是
下三角矩陣:
其中
表示一個p×p的
單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之後,左上角就會出現舒爾補,具體的形式是:
因此,矩陣
M的逆,如果存在的話,可以用
以及其舒爾補(如果存在的話)來表示:
當p和q都等於1(即A、B、C和D都是係數)時,我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式:
在矩陣方程求解中的套用
舒爾補很自然地可以在如下的方程組求解中發揮作用:
其中x以及a是p維的
列向量,而y以及b則是q維的列向量。矩陣A、B、C、D則同上面假設。將第二個方程左乘上矩陣
,並將得到後的方程與第一個相減,就得到:
因此,如果可以知道
D以及
D的舒爾補的逆矩陣,就可以解出未知量
x之後帶入第二個方程
就可以解出
y。這樣,就將
矩陣的求逆問題轉化成了分別求解一個p×p矩陣以及一個 q×q矩陣的逆矩陣的問題。這樣就大大減低了複雜度(計算量)。實際上,這要求矩陣D滿足足夠好的條件,以使得算法得以成立。
機率論和統計學中的套用
那么X在Y給定時的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補: