《與穩定(Stable)過程有關的極限定理》是依託華東師範大學，由李育強擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：與穩定(Stable)過程有關的極限定理
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李育強
- 依託單位：華東師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
課題含兩部分內容.一是研究穩定過程與連續時間隨機遊動和分支粒子系統占位時過程的聯繫.對連續時間隨機遊動,核心問題是當表示等待時間和表示跳幅度的隨機變數對不獨立時,該過程的弱極限形式怎樣.對分支粒子系統,最關注粒子運動的各向異性能否通過占位時過程遺傳給其極限過程.這部分研既能促進連續時間隨機遊動模型在各領域的套用,還為分數偏微分方程的解提供一種機率逼近方法,也有助於了解抽象測度穩定過程和具有各向異性的穩定隨機場的構造.二是研究穩定過程的機率與幾何性質.重點是研究自相似穩定過程的漸進性質及穩定隨機場的位勢理論.這部分工作有助於深刻認識穩定過程軌道性質.本課題的特色有:以積分形式研究帶有餘項的連續時間隨機遊動的弱極限定理;從分支粒子系統模型角度討論具有各向異性多參數隨機過程的構造;研究新型穩定過程的性質.解決問題的關鍵是科學套用與發展函式空間的緊性條件,以及合理估計穩定過程的尾分布和小球機率.
結題摘要
在機率論領域，隨機過程的構造與性質一直為其中心問題。項目“與Stable過程有關的極限定理”以此為目標. 研究的內容包括三方面：一、研究與連續時間隨機遊動及積分形式（帶尾）連續時間隨機遊動有關的泛函極限定理；二、研究與分支粒子系統占位時有關的泛函極限定理；三、研究隨機場的性質。項目進展順利，到項目結題時已在Bernoulli, Stochastic processes and their applications, Journal of Applied Probability, Journal of Theoretical Probability, Statistics and Probability Letters, Communications in Statistics—Theory and Methods, Science China Mathematics (B), Acta Mathematica Sinica(B), Acta Mathematica Scientia (B)及其它雜誌共發表學術論文10篇，另有兩篇分別被Stochastics and Dynamics, Frontiers of Mathematics in China雜誌接受。課題研究獲得的最主要成果為：利用一維Poisson過程及積分形式的連續時間隨機遊動，在一定條件下得到Stable勒維過程；利用二維Possion過程及積分形式的連續時間隨機遊動以及恰當的積分核函式得到一維分數布朗運動；定義了一類向量值的運算元自相似過程，利用李群方法，刻畫了過程空間值的自相似變換形式，並利用隨機積分表示構造了兩類模型；發現粒子運動具有各向異性的分支粒子系統其占位時波動極限只有在運動空間維數較高時才具有各向異性；發現在適當條件下，Riemann- Liouville過程可以通過位置相依的分支粒子系統占位時過程構造出來。這些結果為人們尋找分數stable過程的積分構造以及尋找恰當意義下的分數stable過程積分提供了一種思路；展示了利用高維隨機過程構造低維分數布朗運動的技巧，提高了人們對分數布朗運動的理解；建立起了分支粒子系統與非迷向隨機場以及分數階微分方程的聯繫，體現了分支粒子系統在隨機模型構造方面的靈活性。
