《隨機偏微分方程的傳輸不等式》是依託中國科學技術大學，由王冉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：隨機偏微分方程的傳輸不等式
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王冉
- 依託單位：中國科學技術大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
該項目研究隨機偏微分方程(隨機Burgers，porous media，Navier-Stokes方程等)的傳輸不等式和中偏差問題。在傳輸不等式方面，我們希望對某些隨機偏微分方程, 關於某種合適的度量建立過程水平的Talagrand 不等式W2H和傳輸不等式W1H。 在中偏差方面，我們希望對某些無窮維隨機偏微分方程，包括由Lévy 噪聲驅動的，或有反射邊界的隨機偏微分方程，首次建立中偏差原理。
結題摘要
大偏差理論與泛函不等式是隨機分析中的一個重要研究分支， 也是當前國內外研究的熱點之一。 它們為研究隨機動力系統提供了一種有效的尾機率估計和收斂速度估計。 本項目研究了隨機偏微分方程 Freidlin-Wentzell型和 Donsker-Varadhan 型大偏差原理和中偏差原理、 圖上的泛函不等式和熵產生率的極限性質等。具體地包括以下內容： （1）本項目針對一些隨機偏微分方程建立了Freidlin-Wentzell型中心極限定理和中偏差原理， 其中包括白噪聲驅動的隨機反應擴散方程、隨機Navier-Stokes方程、隨機波動方程、 彩色噪聲驅動的分數隨機熱方程和隨機 Volterra 方程等模型。它給出了帶有小擾動的隨機動力系統與確定性動力系統的、 與大偏差原理尺度不同機率偏差估計。 （2）本項目針對一些耗散性強的隨機偏微分方程建立了占位時測度的 Donsker-Varadhan 型大偏差原理， 其中包括隨機 p-Laplace 方程、 隨機 porous media 方程、 隨機 fast-diffusion 方程等, 甚至包括由柱型(或對稱) alpha-stable 過程驅動的反應擴散方程。 在此過程中, 我們需要對 alpha-stable 過程驅動的反應擴散方程建立強 Feller 性和不可約性。 另外， 我們還利用耦合方法研究了二階流體方程經驗測度的指數遍歷性。 （3）本項目對有限圖上的對稱近鄰的馬氏過程建立了一些泛函不等式， 包括對數 Sobolev、加權的 Poincaré、 廣義的 Cheeger 等周、傳輸熵和傳輸信息不等式， 並針對一些具體的模型給出了最優常數的估計。 此外， 本項目還利用了 Poincaré 不等式和對數 Sobolev 不等式的工具研究研究了高維 Ornstein-Uhlenbeck 過程的熵產生率的中心極限定理和中偏差原理。並且利用中偏差原理得到了熵產生的重對數率。
