自旋群

自旋群是群論的一個概念。

基本介紹

• 中文名：自旋群
• 外文名：spin group
• 所屬學科：群論

定義

設V為實數域上有限維向量空間，Cl(V)為對應的克利福德代數，Cl(V)為其單位群。則Pin(V)為Cl(V)的由滿足的v生成的子群。自旋群Spin(V)為Pin(V)與Cl₀(V)的 交。

性質

1自旋群Spin(n)是SO(n)在的原像。

自旋群Spin(V)為群同態的核。

自旋群Spin(V)為Pin(V)中偶數個生成元的積。

自旋群Spin(V)與Cl(V)的中心之交為{+1,-1}。

當n≥2時，Spin(n)是SO(n)的非平凡雙重覆疊。

當n≥3時，Spin(n)為SO(n)的泛覆疊群。有正合列

Spin(V)的李代數與SO(n)一致。

Spin(V)為n(n-1)/2維緊李群，當n＞1時連通，當n＞2時單連通。

例子

Spin(7)擁有一個忠實的8維實表示，Spin(8)擁有三個不等價的8維實表示。