單位群

在環中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個乘法群，叫環的單位群。

基本介紹

• 中文名：單位群
• 外文名：unit group
• 所屬學科：群論

定義

任意么半群M的可逆元子集對M的乘法構成一個群，稱為M的單位群。

環的單位群

在環論中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個群，稱為環的單位群。

解釋

實際上環的單位群的定義包含於么半群的單位群的定義。因為環相當於附加了加法的么半群，而加法的零元對於乘法不可逆，而不包含於單位群內，即環的單位群無法再視為加法群。

對環（域）來說，單位群所有元素，和環（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由環的素理想，分式理想，理想類群來度量。

整數環Z的單位只有1，-1，單位群同構於循環群C₂。模n 的剩餘類環Z_n單位群記為U（Z_n）。僅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非單位元的階均為2；非單位元的階均為其他素數p（p＞2）的單位群不存在。