考研數學歷年真題分題型詳解·數學三

《考研數學歷年真題分題型詳解·數學三》是2021年華中科技大學出版社出版的圖書。

基本介紹

• 中文名：考研數學歷年真題分題型詳解·數學三
• 出版時間：2021年
• 出版社：華中科技大學出版社 
• ISBN：9787568071017

內容簡介

本書在教育部制定的考研數學考試大綱的指導下，依據考試大綱的編排順序，按考點對歷年（2002—2021）真題分類，對各類題型進行詳細歸納和總結，給出了各類題型的解題思路、方法和技巧，使考生能達到舉一反三、觸類旁通的能力。同時，考生通過本書複習時，有助於掌握歷年試題的核心內容，便於發現考研數學試題反覆出現的共性問題，能從共性問題中發現命題規律和命題趨勢，找出考點之間的有機聯繫，明確各部分考點內容的重點、難點。本書在理論推導和文字敘述等方面由淺入深，易於接受，真題解答詳盡，便於自學；本書儘量做到一題多解，並對每一道真題給出解題思路，以便更好地提高考生的解題能力。

圖書目錄

第1部分高 等 數 學

第1章函式、極限、連續(3)

考點1.1.1函式的概念與性質(3)

題型1.1.1.1求分段函式的複合函式(3)

題型1.1.1.2判定數列或函式在區間上的有界性(3)

題型1.1.1.3判定由多種複合函式構成的原函式的奇偶性(4)

考點1.1.2極限的概念與性質(5)

題型1.1.2.1判定極限的存在性(5)

題型1.1.2.2討論極限的性質(6)

考點1.1.3求函式極限(7)

題型1.1.3.1求00型或∞∞型極限(8)

題型1.1.3.2求∞-∞型極限(9)

題型1.1.3.3求冪指函式型極限(10)

題型1.1.3.4求極限式含冪指函式的極限(12)

題型1.1.3.5求極限式含指數函式差的極限(12)

題型1.1.3.6求極限式含因子函式lnf(x)的極限，其中limx→□f(x)=1(13)

題型1.1.3.7求含有界變數為因子的函式極限(14)

題型1.1.3.8求與數列極限相關的問題(14)

題型1.1.3.9求某些積和式的極限(18)

題型1.1.3.10求和函式f(x) g(x)的極限(20)

考點1.1.4確定未知參(函)數(20)

題型1.1.4.1已知極限式的極限，反求其所含的未知參數(20)

題型1.1.4.2已知含未知函式的一極限，求含該函式的另一函式極限(26)

考點1.1.5無窮小量或無窮大量的比較(27)

題型1.1.5.1無窮小量的運算及其階的比較(27)

題型1.1.5.2確定無窮小量的階數(28)

題型1.1.5.3無窮大量階的比較(30)

考點1.1.6討論函式的連續性及間斷點的類型(31)

題型1.1.6.1討論函式的連續性(31)

題型1.1.6.2判別函式f(x)間斷點的個數及其類型(32)

題型1.1.6.3已知分段函式的連續性求其待定常數(35)

考點1.1.7連續函式性質的套用(35)

題型1.1.7.1介值定理(零點定理)的套用(35)

第2章一元函式微分學(37)

考點1.2.1導數定義的套用(37)

題型1.2.1.1討論函式在某點的可導性(37)

題型1.2.1.2討論分段函式的可導性及導函式的連續性(40)

題型1.2.1.3利用導數定義求極限或導數(41)

考點1.2.2求一元函式的導數和微分(43)

題型1.2.2.1求各類一元函式的各階導數(43)

題型1.2.2.2微分的概念與計算(44)

考點1.2.3利用導數討論函式性態(46)

題型1.2.3.1確定單調區間和求極值(46)

題型1.2.3.2已知一極限式,討論函式是否取得極值(49)

題型1.2.3.3求函式曲線的凹凸區間與拐點(49)

題型1.2.3.4求函式曲線的漸近線(53)

題型1.2.3.5確定函式方程存在實根及其個數問題(55)

題型1.2.3.6根據方程根的存在性討論方程中的參數(57)

考點1.2.4微分中值定理的套用(58)

題型1.2.4.1利用微分中值定理的條件與結論解題(58)

題型1.2.4.2使用羅爾定理證明中值等式(59)

題型1.2.4.3證明中值等式f′(ξ)±g′(ξ)f(ξ)=0(62)

題型1.2.4.4證明與函式差值有關的中值命題(65)

題型1.2.4.5證明存在多箇中值所滿足的中值等式(66)

題型1.2.4.6證明函式與其導數的關係(68)

題型1.2.4.7利用導數證明不等式(69)

考點1.2.5一元函式微分學的幾何套用(72)

題型1.2.5.1求曲線的切線和（或）法線方程(72)

題型1.2.5.2求解與兩曲線相切的有關問題(73)

題型1.2.5.3求解與切線在坐標軸上的截距有關的問題(73)

考點1.2.6導數在經濟活動分析中的套用(74)

題型1.2.6.1計算與彈性有關的問題(74)

題型1.2.6.2計算與邊際和彈性有關的套用題(76)

題型1.2.6.3求解經濟函式的值問題(79)

第3章一元函式積分學(82)

考點1.3.1原函式與不定積分的關係(82)

題型1.3.1.1原函式與不定積分的概念及其性質(82)

題型1.3.1.2連續函式f(x)與其原函式F(x)的性質之間的關係(82)

考點1.3.2計算不定積分(83)

題型1.3.2.1計算分母含根號因子的無理函式的不定積分（定積分）(83)

題型1.3.2.2求簡單無理函式的不定積分(85)

題型1.3.2.3求被積函式含反三角函式、對數函式為因子函式的不定積分(86)

考點1.3.3計算定積分(86)

題型1.3.3.1利用定積分的幾何意義計算定積分(86)

題型1.3.3.2計算對稱區間［-a,a］上的定積分(88)

題型1.3.3.3計算被積函式含導函式的積分(90)

題型1.3.3.4計算∫baf［φ(x)］dx或∫baφ(x)f(x)dx(91)

題型1.3.3.5計算分段函式的定積分(91)

題型1.3.3.6求解函式方程，該方程含積分區間確定的未知函式的積分(92)

題型1.3.3.7比較定積分值的大小(93)

題型1.3.3.8計算周期函式的定積分(95)

題型1.3.3.9已知積分值，反求待定常數(98)

考點1.3.4求解與變限積分有關的問題(98)

題型1.3.4.1求變限積分的導數(98)

題型1.3.4.2求含變限積分的未定式極限(99)

題型1.3.4.3討論變限積分函式的性態(100)

考點1.3.5有關定積分的證明(101)

題型1.3.5.1證明定積分的等式(101)

題型1.3.5.2證明定積分的不等式(102)

考點1.3.6計算反常積分（廣義積分）(105)

題型1.3.6.1計算無窮區間上的反常積分(105)

題型1.3.6.2計算無界函式的反常積分(106)

考點1.3.7一元函式積分學的套用(107)

題型1.3.7.1已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積(107)

題型1.3.7.2求旋轉體體積(109)

題型1.3.7.3求解與值問題相結合的幾何套用題(111)

題型1.3.7.4由邊際函式求總函式(111)

第4章多元函式微積分學(113)

考點1.4.1二（多）元函式微分學中的基本概念(113)

題型1.4.1.1二元函式極限、連續、可偏導及可微的基本概念(113)

題型1.4.1.2二元函式的極限、連續、可偏導及可微的關係(115)

考點1.4.2計算複合函式的偏導數(115)

題型1.4.2.1計算二（多）元函式的偏導數（的值）(116)

題型1.4.2.2求帶抽象函式記號的複合函式的偏導數(116)

考點1.4.3求二（多）元函式的全微分(120)

題型1.4.3.1求二（多）元顯函式的全微分及偏導數(121)

題型1.4.3.2 求多元隱函式的偏導數及其全微分(123)

考點1.4.4多元函式微分學的套用(126)

題型1.4.4.1求二（多）元函式的極值(無條件極值)和值(126)

題型1.4.4.2求解二（多）元函式的條件極值和條件值、小值問題(128)

考點1.4.5計算二重積分(131)

題型1.4.5.1根據積分區域或被積函式適當選擇積分次序計算二重積分(131)

題型1.4.5.2交換二次積分的積分次序(133)

題型1.4.5.3轉換二次積分（轉換坐標系）(134)

題型1.4.5.4利用積分區域的對稱性和被積函式的奇偶性簡化計算(135)

題型1.4.5.5分塊計算二重積分(138)

題型1.4.5.6計算簡單無界區域上的二重積分(143)

題型1.4.5.7討論二重積分的大小(145)

考點1.4.6計算圓域上的二重積分(146)

題型1.4.6.1計算圓域x2 y2≤a2(a>0)上的二重積分(146)

題型1.4.6.2計算圓域x2 y2≤2ax(a>0)上的二重積分(148)

題型1.4.6.3計算圓域x2 y2≤2by(b>0)上的二重積分(149)

題型1.4.6.4計算圓域x2 y2≤-2by(b>0)上的二重積分(150)

題型1.4.6.5計算圓域x2 y2≤2ax 2by c上的二重積分(150)

第5章無窮級數(152)

考點1.5.1判別（證明）常數項級數的斂散性(152)

題型1.5.1.1判別正項級數的斂散性(152)

題型1.5.1.2判別交錯級數的斂散性(153)

題型1.5.1.3判別任意項級數的收斂、發散、收斂、條件收斂(154)

題型1.5.1.4已知數項級數的斂散性，確定其參數值或取值範圍(157)

考點1.5.2冪級數(158)

題型1.5.2.1求冪級數的收斂半徑或(和)收斂域(158)

題型1.5.2.2求冪級數的和函式(160)

題型1.5.2.3求數項級數的和(167)

考點1.5.3將函式展為冪級數(169)

題型1.5.3.1求函式在指定點的冪級數展開式(169)

題型1.5.3.2冪級數展開式的簡單套用(170)

第6章常微分方程與差分方程(173)

考點1.6.1求解一階線性微分方程(173)

題型1.6.1.1求解變數可分離的微分方程(173)

題型1.6.1.2求解齊次微分方程(173)

題型1.6.1.3求解一階非齊次線性微分方程y′ p(x)y=q(x)(174)

題型1.6.1.4求解以分段函式為非齊次項或係數的一階線性微分方程(176)

題型1.6.1.5求解可化為一階微分方程的方程(176)

考點1.6.2求解未知函式出現在積分號內的方程(178)

題型1.6.2.1求解含變限積分的方程(178)

題型1.6.2.2求解含積分區域變化的二重積分的函式方程(179)

考點1.6.3求解二階（高階）常係數線性微分方程(181)

題型1.6.3.1確定二階常係數非齊次線性微分方程特解形式(181)

題型1.6.3.2求解二階常係數線性微分方程(182)

考點1.6.4微分方程的簡單套用(183)

題型1.6.4.1求解與平面圖形面積有關的問題(183)

題型1.6.4.2求解與旋轉體體積有關的問題(185)

考點1.6.5常係數線性差分方程(186)

題型1.6.5.1求解一階常係數非齊次線性差分方程(186)

題型1.6.5.2一階常係數非齊次線性差分方程的簡單套用(187)

題型1.6.5.3求解二階常係數非齊次線性差分方程(188)

第2部分線 性 代 數

第1章行列式(191)

考點2.1.1計算數字型行列式(191)

題型2.1.1.1計算行列式中含特定項的係數(191)

題型2.1.1.2計算某一行或某一列零元素較多的行列式(191)

題型2.1.1.3計算行和（或列和）相等的行列式(192)

題型2.1.1.4計算非零元素（主要）在一條或兩條線上的行列式(193)

題型2.1.1.5計算非零元素在平行於主對角線的三條線上的行列式(196)

考點2.1.2計算抽象矩陣的行列式(198)

題型2.1.2.1求解同階矩陣A，B的線性組合的行列式|aA bB|(a，b為常數)(198)

題型2.1.2.2計算含零子塊的四分塊矩陣的行列式(198)

題型2.1.2.3利用方陣相乘的行列式性質計算行列式(199)

題型2.1.2.4利用秩、特徵值、相似矩陣等計算行列式(201)

考點2.1.3克拉默法則的套用(201)

題型2.1.3.1求方程組AX=b的解或判定方程組AX=0隻有零解(201)

題型2.1.3.2已知方程組An×nX=0隻有零解或有非零解，確定待求常數(202)

第2章矩陣(203)

考點2.2.1矩陣運算(203)

題型2.2.1.1利用矩陣乘法的結合律計算乘積矩陣(203)

題型2.2.1.2計算矩陣的高次冪(204)

題型2.2.1.3證明抽象矩陣可逆，並求其逆矩陣的表示式(204)

題型2.2.1.4求元素已知的矩陣的逆矩陣(205)

考點2.2.2求解與伴隨矩陣有關的問題(208)

題型2.2.2.1計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式(208)

題型2.2.2.2求(A)-1或(A-1)(208)

題型2.2.2.3求與伴隨矩陣有關的矩陣的秩(209)

題型2.2.2.4求伴隨矩陣的表達式(209)

考點2.2.3求矩陣的秩(211)

題型2.2.3.1求數字型矩陣的秩(211)

題型2.2.3.2求抽象矩陣的秩(212)

題型2.2.3.3已知矩陣的秩，求其待定常數或其待定常數所滿足的關係(214)

考點2.2.4求解矩陣方程(214)

題型2.2.4.1求解係數矩陣可逆的矩陣方程(215)

題型2.2.4.2求解係數矩陣不可逆的矩陣方程(217)

考點2.2.5求解與初等變換有關的問題(220)

題型2.2.5.1用初等矩陣表示初等變換(220)

題型2.2.5.2利用初等矩陣及其性質表示變換前或變換後的矩陣或其運算後的矩陣(221)

題型2.2.5.3討論矩陣等價的有關問題(223)

第3章向量(225)

考點2.3.1向量的線性組合與線性表示(225)

題型2.3.1.1討論一向量能否用一向量組線性表示(225)

題型2.3.1.2若向量β與向量組α1，α2，…，αs為抽象型的向量組（向量的具體元素未知），討論β能否由該向量組線性表示(226)

題型2.3.1.3判別兩向量組是否等價(227)

考點2.3.2向量組的線性相關性(229)

題型2.3.2.1判別（證明）向量組的線性相關性(229)

題型2.3.2.2已知一向量組線性無關，判定其線性組合的向量組的線性相關性(231)

題型2.3.2.3證明向量組線性無關(233)

題型2.3.2.4兩個有線性關係的向量組的性質(236)

題型2.3.2.5已知向量組的線性相關性，求其待定常數(236)

題型2.3.2.6求向量組的極大線性無關組和向量組的秩(238)

第4章線性方程組(240)

考點2.4.1線性方程組解的判定(240)

題型2.4.1.1判定齊次和非齊次線性方程組解的情況(240)

題型2.4.1.2已知線性方程組解的情況,求其參數(241)

考點2.4.2基礎解系(244)

題型 2.4.2.1基礎解系的判定或證明(244)

題型2.4.2.2基礎解系和特解的求法(245)

考點2.4.3求解線性方程組(248)

題型2.4.3.1求解不含參數的線性方程組的通解(248)

題型2.4.3.2求解含參數的齊次線性方程組(249)

題型2.4.3.3求解含參數的非齊次線性方程組(252)

題型2.4.3.4求解其通解滿足一定條件的含參數的方程組(254)

考點2.4.4求(抽象)線性方程組的通解(256)

題型2.4.4.1A沒有具體給出，利用解的結構定理求AX=0的通解(256)

題型2.4.4.2利用線性方程組的向量形式求其通解(257)

考點2.4.5求兩線性方程組的公共解(260)

題型2.4.5.1已知具體的線性方程組求其公共解(260)

題型2.4.5.2已知一個方程組的通解及另一具體方程組，求其（非零）公共解(261)

考點2.4.6討論兩方程組同解的有關問題(263)

題型2.4.6.1證明兩齊次線性方程組同解(263)

題型2.4.6.2已知兩線性方程組有公共非零解或同解，求其待定常數(264)

第5章矩陣的特徵值和特徵向量(267)

考點2.5.1求矩陣的特徵值、特徵向量(267)

題型2.5.1.1求數字型矩陣的特徵值和特徵向量(267)

題型2.5.1.2求抽象矩陣的特徵值、特徵向量(269)

題型2.5.1.3已知一矩陣的特徵值、特徵向量，求相關矩陣的特徵值、特徵向量(270)

考點2.5.2使用特徵值、特徵向量求解有關問題(271)

題型2.5.2.1已知矩陣的特徵值、特徵向量，反求其矩陣的待定常數(271)

題型2.5.2.2已知矩陣的特徵值、特徵向量，反求其矩陣(271)

題型2.5.2.3矩陣特徵值的兩條性質的套用(274)

考點2.5.3相似矩陣與相似對角化(275)

題型2.5.3.1判別或證明兩同階方陣相似(275)

題型2.5.3.2判別方陣是否可相似對角化(277)

題型2.5.3.3利用相似矩陣的性質求矩陣中的參數(280)

考點2.5.4將矩陣化為相似對角矩陣(282)

題型2.5.4.1已知矩陣A可相似對角化，求可逆矩陣P使P-1AP為對角矩陣(282)

題型2.5.4.2已知A可相似對角化，求對角矩陣Λ使P-1AP=Λ(286)

考點2.5.5實對稱矩陣性質的套用(286)

題型2.5.5.1已知實對稱矩陣的部分特徵向量，求另一部分特徵向量(286)

題型2.5.5.2A為實對稱矩陣，求正交矩陣Q使Q-1AQ為對角矩陣(287)

題型2.5.5.3利用相似對角化求矩陣的高次冪(289)

第6章二次型(292)

考點2.6.1二次型的幾個基本概念(292)

題型2.6.1.1求二次型的矩陣表示(292)

題型2.6.1.2求二次型的秩(293)

考點2.6.2求解與化標準形或規範形有關的問題(294)

題型2.6.2.1化二次型（實對稱矩陣）為標準形（對角矩陣）或規範形(294)

題型2.6.2.2已知二次型的標準形(規範形)，反求原二次型中的未知參數(299)

考點2.6.3判別實二次型（實對稱矩陣）的正定性(303)

題型2.6.3.1判別二次型或其矩陣的正定性(303)

題型2.6.3.2確定參數值使二次型或其矩陣正定(305)

考點2.6.4契約矩陣與契約變換(307)

題型2.6.4.1判別（證明）兩實對稱矩陣契約(307)

第3部分機率論與數理統計

第1章隨機事件與機率(313)

考點3.1.1隨機事件的關係及其運算法則(313)

題型3.1.1.1隨機事件的關係(313)

題型3.1.1.2隨機事件的運算及其性質(314)

考點3.1.2計算事件的機率(315)

題型3.1.2.1計算古典型機率(315)

題型3.1.2.2計算幾何型機率(315)

題型3.1.2.3計算伯努利概型的機率(317)

考點3.1.3計算機率的幾個常用公式的套用(319)

題型3.1.3.1計算機率的加法公式、乘法公式、條件機率公式與減法公式的套用(319)

題型3.1.3.2全機率公式和貝葉斯公式的套用(322)

考點3.1.4事件獨立性的判別與套用(324)

題型3.1.4.1判別（證明）兩事件相互獨立(324)

題型3.1.4.2判別（證明）n（n>2）個事件相互獨立(325)

題型3.1.4.3事件相互獨立性質的套用(326)

第2章一維隨機變數及其分布(328)

考點3.2.1判別分布列、機率密度、分布函式(328)

題型3.2.1.1分布函式的判別(328)

題型3.2.1.2機率密度函式的判定(329)

考點3.2.2求分布律和分布函式(330)

題型3.2.2.1求離散型隨機變數的分布律（機率分布）(330)

題型3.2.2.2求隨機變數的分布函式(331)

考點3.2.3利用分布函式計算事件的機率(333)

題型3.2.3.1利用分布函式計算事件的機率(333)

題型3.2.3.2利用常見分布計算機率(334)

考點3.2.4求與隨機變數分布有關的參數(336)

題型3.2.4.1已知隨機變數的分布，求其參數(336)

題型3.2.4.2已知機率，計算區間參數或數字特徵參數(337)

考點3.2.5求隨機變數函式的分布(338)

題型3.2.5.1求連續型隨機變數X的函式g(X)的分布(338)

題型3.2.5.2已知X，Y的分布，求max(X,Y)與min(X,Y)的分布(340)

第3章二維隨機變數及其分布(343)

考點3.3.1求二維離散型隨機變數的聯合機率分布(343)

題型3.3.1.1給定隨機試驗，求離散型隨機變數的聯合分布(343)

題型3.3.1.2由隨機事件或一對隨機變數的分布，求出另一對隨機變數的聯合機率分布

(345)

題型3.3.1.3在一定條件下，由X，Y的分布律求（X，Y）的聯合分布律(350)

考點3.3.2求二維連續型隨機變數的分布(353)

題型3.3.2.1已知分區域定義的聯合密度，求其分布函式(353)

題型3.3.2.2由聯合機率密度求其邊緣機率密度(354)

題型3.3.2.3已知聯合密度、邊緣密度求其條件密度(355)

題型3.3.2.4由條件分布反求聯合分布、邊緣分布(357)

考點3.3.3二維隨機變數函式的分布(358)

題型3.3.3.1求二維離散型隨機變數函式的機率分布(358)

題型3.3.3.2求二維連續型隨機變數函式的分布(359)

題型3.3.3.3求兩個隨機變數和的分布，其中一個是連續型，另一個是離散型(364)

考點3.3.4求二維隨機變數取值的機率(369)

題型3.3.4.1求二維離散型隨機變數取值的機率(369)

題型3.3.4.2求二維連續型隨機變數落入平面區域內的機率(370)

考點3.3.5隨機變數的獨立性(373)

題型3.3.5.1判別兩隨機變數的獨立性(373)

題型3.3.5.2利用兩隨機變數的獨立性確定聯合分布中的參數(375)

第4章隨機變數的數字特徵(377)

考點3.4.1一維隨機變數的數字特徵(377)

題型3.4.1.1求一維隨機變數的數學期望與方差(377)

題型3.4.1.2求一維隨機變數函式的期望與方差(379)

考點3.4.2二維隨機變數的數字特徵(382)

題型3.4.2.1求二維隨機變數函式的數學期望和方差(382)

題型3.4.2.2計算協方差及相關係數(384)

題型3.4.2.3確定兩隨機變數的相關性或獨立性(390)

考點3.4.3求解與數字特徵有關的套用題(392)

題型3.4.3.1求解與數字特徵有關的經濟套用題(392)

題型3.4.3.2求解與數字特徵有關的其他實際套用題(393)

第5章大數定律和中心極限定理(396)

考點3.5.1切比雪夫不等式(396)

題型3.5.1.1用切比雪夫不等式估計事件的機率(396)

考點3.5.2大數定律(396)

題型3.5.2.1利用三個大數定律成立的條件和結論解題(396)

考點3.5.3中心極限定理(397)

題型3.5.3.1套用列維林德伯格中心極限定理的條件和結論解題(398)

題型3.5.3.2列維林德伯格中心極限定理的套用(400)

題型3.5.3.3棣莫弗拉普拉斯中心極限定理的套用(400)

第6章數理統計的基本概念(402)

考點3.6.1求統計量的分布(402)

題型3.6.1.1判別或證明統計量服從χ2分布(402)

題型3.6.1.2判別或證明統計量服從t分布(404)

題型3.6.1.3判別或證明統計量服從F分布(407)

考點3.6.2統計量的數字特徵(407)

題型3.6.2.1求統計量的數字特徵(407)

題型3.6.2.2由統計量的數字特徵求其待定常數(413)

第7章參數估計(415)

考點3.7.1參數的矩估計和極大似然估計(415)

題型3.7.1.1求參數的矩估計(415)

題型3.7.1.2求未知參數的極（）大似然估計量（值）(417)

附錄2002—2021年考研數學三試題(425)

2002年全國碩士研究生招生考試數學三試題(425)

2003年全國碩士研究生招生考試數學三試題(426)

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2009年全國碩士研究生招生考試數學三試題(439)

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