考研數學常考題型解題方法技巧歸納：2020：數學一

《考研數學常考題型解題方法技巧歸納：2020：數學一》是2019年華中科技大學出版社出版的圖書。

基本介紹

• 中文名：考研數學常考題型解題方法技巧歸納：2020：數學一
• 作者：毛綱源
• 出版時間：2019年3月15日
• 出版社：華中科技大學出版社
• ISBN：9787568048866
• 類別：考試類圖書
• 開本：16 開
• 裝幀：平裝-膠訂

內容簡介

本書是筆者在*制定的考研數學（數學一）考試大綱的指導下，經過多年的教學實踐、反覆錘鍊、不斷更新而成，全書的知識體系趨於完美，更加符合當前考生複習備考的需求。 全書共分為三篇：第1篇為高等數學，第2篇為線性代數，第3篇為機率論與數理統計。書中附錄給出了相應章節配套的經典常考題型同步測試題及參考答案。 書中將例題按題型分類，對各類題型的解法進行了歸納總結，重點講述與考試大綱中基本概念、基本理論、基本方法有關的歷年真題和經典試題，內容豐富，題型廣泛、全面，任何一年的真題均可在本書中找到對應的題型；同時作者還對各類重點常考題型的解題思路、方法和技巧進行歸納、總結，對容易出錯的地方以“注意”的形式作了詳盡的註解加以強調，講解的方法通俗易懂，由淺入深，富於啟發。 這是一本廣度、深度及難度均適合廣大考生使用的考研數學輔導書。

圖書目錄

第1篇 高等數學

1.1 函式、極限、連續(2)

1.1.1 求幾類與複合函式有關的函式表示式(2)

題型1.1.1.1 已知f(x)和φ(x),求f［φ(x)］或φ［f(x)］(2)

題型1.1.1.2 求分段點相同的兩分段函式的複合函式(2)

1.1.2 函式的奇偶性(3)

題型1.1.2.1 判別（證明）函式的奇偶性(3)

題型1.1.2.2 奇、偶函式性質的套用(4)

1.1.3 討論函式的有界性和周期性(5)

題型1.1.3.1 判定有限開區間內連續函式的有界性(5)

題型1.1.3.2 判定無窮區間內連續函式的有界性(5)

題型1.1.3.3 討論函式的周期性(6)

1.1.4 理解極限概念(7)

題型1.1.4.1 正確理解極限定義中的“ε-N”“ε-δ”“ε-X”語言的含義(7)

題型1.1.4.2 正確區別無窮大量與無界變數(7)

1.1.5 求未定式極限(8)

題型1.1.5.1 求0/0型或∞/∞型極限(8)

題型1.1.5.2 求0·∞型極限(12)

題型1.1.5.3 求∞-∞型極限(13)

題型1.1.5.4 求冪指函式型（00型，∞0型,1∞型）極限(13)

1.1.6求數列極限(17)

題型1.1.6.1求數列通項為n項和的極限(17)

題型1.1.6.2求由遞推關係式給出的數列極限(22)

1.1.7求幾類特殊子函式形式的函式極限(25)

題型1.1.7.1求需先考察左、右極限的函式極限(25)

題型1.1.7.2求含根式差的函式極限(27)

題型1.1.7.3求含或可化為含指數函式差的函式極限(27)

題型1.1.7.4求含lnf(x)的函式極限，其中limx→□f(x)=1(28)

題型1.1.7.5求含有界變數因子的函式極限(29)

1.1.8求含參變數的函式極限limn→∞φ(n,x)(29)

題型1.1.8.1求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)為或可化為F(x)g(n)指數函式型(29)

題型1.1.8.2求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)為或可化為g(n)F(x)冪函式型(30)

題型1.1.8.3求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)可化為g(t)F(x)型或F(x)g(t)型(30)

題型1.1.8.4求limn→∞φ(n,x)或limt→t0φ(t,x)，其中φ(n,x)=F(n,x)g(x,n)或φ(t,x)=F(t,x)g(t,x)

(30)

1.1.9已知一極限求其待定常數或含未知函式的另一極限(31)

題型1.1.9.1由含未知函式的一(些)極限，求含該函式的另一極限(31)

題型1.1.9.2已知極限式的極限，求其待定常數(32)

1.1.10比較和確定無窮小量的階(34)

題型1.1.10.1比較無窮小量的階(35)

題型1.1.10.2確定無窮小量為幾階無窮小量(36)

1.1.11討論函式的連續性及間斷點的類型(36)

題型1.1.11.1判別函式的連續性(36)

題型1.1.11.2討論分段函式的連續性(37)

題型1.1.11.3判別函式間斷點的類型(39)

1.1.12連續函式性質的兩點套用(40)

題型1.1.12.1證明存在ξ∈［a,b］，使含ξ的等式成立(41)

題型1.1.12.2證明方程實根的存在性(42)

1.2一元函式微分學(44)

1.2.1導數定義的四點套用(44)

題型1.2.1.1判斷函式在某點的可導性(44)

題型1.2.1.2利用導數定義求某些函式的極限(48)

題型1.2.1.3利用導數定義討論函式性質(50)

題型1.2.1.4利用導函式符號及函式單調性比較函式值的大小(50)

1.2.2討論分段函式的可導性及其導函式的連續性(50)

題型1.2.2.1討論分段函式的可導性(50)

題型1.2.2.2討論分段函式的導函式的連續性(51)

題型1.2.2.3討論一類特殊分段函式在其分段點的連續性、可導性及其導函式的連續性

(52)

1.2.3討論含值函式的可導性(52)

題型1.2.3.1討論值函式|f(x)|的可導性(52)

題型1.2.3.2討論函式f(x)=|φ(x)|g(x)的可導性(52)

1.2.4求一元函式的導數和微分(54)

題型1.2.4.1求複合函式的導數(54)

題型1.2.4.2求反函式的導數(54)

題型1.2.4.3求隱函式的導數(55)

題型1.2.4.4求分段函式的一階、二階導數(56)

題型1.2.4.5求冪指函式及含多個因子連乘積的函式的導數(56)

題型1.2.4.6求由參數方程所確定的函式的導數(57)

題型1.2.4.7求某些簡單函式的高階導數(57)

題型1.2.4.8求一元函式的微分(60)

1.2.5利用函式的連續性、可導性確定其待定常數(62)

題型1.2.5.1利用函式的連續性確定其待定常數(62)

題型1.2.5.2根據函式的可導性確定其待定常數(62)

1.2.6利用微分中值定理的條件及其結論解題(63)

1.2.7利用羅爾定理證明中值等式(65)

題型1.2.7.1證明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0(65)

題型1.2.7.2證明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=bg′(ξ)，其中c,b為常數(66)

題型1.2.7.3證明存在ξ∈(a,b)，使(66)

題型1.2.7.4證明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)g′(ξ) f′(ξ)g(ξ)=0(67)

題型1.2.7.5證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0 (g(ξ)≠0)(68)

題型1.2.7.6證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)f(ξ)=0(68)

題型1.2.7.7證明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ) ξf′(ξ)=0(n為正整數)(68)

題型1.2.7.8證明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)/g(ξ)=f″(ξ)/g″(ξ)，即f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0

(69)

題型1.2.7.9證明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b(69)

題型1.2.7.10證明與定積分有關的中值等式(70)

1.2.8拉格朗日中值定理的套用(72)

題型1.2.8.1證明與函式改變數(增量)有關的中值（不）等式(72)

題型1.2.8.2證明函式與其導數的關係(72)

題型1.2.8.3求解與函式差值有關的問題(74)

題型1.2.8.4證明多箇中值所滿足的中值等式(74)

題型1.2.8.5求中值的極限位置(75)

1.2.9利用柯西中值定理證明中值等式(76)

題型1.2.9.1證明兩函式差值（增量）比的中值等式(76)

題型1.2.9.2證明兩函式導數比的中值等式(77)

1.2.10泰勒定理的兩點套用(78)

題型1.2.10.1證明與高階導數有關的中值（不）等式(78)

題型1.2.10.2計算按常規方法不好求的未定式極限(79)

1.2.11利用導數證明不等式(79)

題型1.2.11.1證明函式不等式(80)

題型1.2.11.2證明數值不等式(85)

1.2.12討論函式的性態(85)

題型1.2.12.1證明函式在區間I上是一個常數(85)

題型1.2.12.2證明(判別)函式的單調性(86)

題型1.2.12.3討論函式是否取得極值(86)

題型1.2.12.4利用二階微分方程討論函式是否取極值，其曲線是否有拐點(88)

題型1.2.12.5求曲線凹凸區間與拐點(89)

題型1.2.12.6求函式的單調區間、極值、值(91)

題型1.2.12.7求曲線的漸近線(94)

1.2.13利用函式性態討論方程的根(95)

題型1.2.13.1討論不含參數的方程實根的存在性及其個數(95)

題型1.2.13.2討論含參數的方程實根的存在性及其個數(96)

1.2.14函式性態與函式圖形(96)

題型1.2.14.1利用函式性態作函式圖形(96)

題型1.2.14.2利用函式的圖形，確定其導函式的圖形(98)

題型1.2.14.3利用導函式的圖形，確定原來函式的性態(98)

1.2.15一元函式微分學的套用(99)

題型1.2.15.1求平面曲線的切線方程和法線方程(99)

題型1.2.15.2求解與切線在坐標軸上的截距有關的問題(100)

題型1.2.15.3求解與兩曲線相切的有關問題(101)

題型1.2.15.4求解與平面曲線的曲率有關的問題(101)

1.3一元函式積分學(103)

1.3.1原函式與不定積分的關係(103)

題型1.3.1.1原函式的概念及其判定(103)

題型1.3.1.2求分段函式的原函式或不定積分(104)

題型1.3.1.3利用積分運算與微分運算的互逆關係求解與原函式有關的問題(105)

1.3.2各類被積函式不定積分的算法(106)

題型1.3.2.1求被積函式為f(x)/g(x)的不定積分,其中f(x)=g′(x)或f′(x)=1/g(x)

(106)

題型1.3.2.2計算被積表達式中出現或可化為f(φ(x))和φ′(x)dx乘積的不定積分(106)

題型1.3.2.3計算被積函式僅為一類函式或為兩類不同函式乘積的不定積分(107)

題型1.3.2.4計算簡單無理函式的不定積分(109)

題型1.3.2.5求∫1(ax b)kf1(ax b)k-1dx，其中k≠1為正實數(111)

題型1.3.2.6求被積函式的分母為或可化為相差常數的兩函式乘積的積分(112)

題型1.3.2.7求三角函式有理式的不定積分(113)

題型1.3.2.8求被積函式含複合對數函式或複合反三角函式為因子函式的積分(114)

題型1.3.2.9有理分式函式∫P(x)Q(x)dx(P(x),Q(x)為多項式)的積分算法(114)

1.3.3利用定積分性質計算定積分(116)

題型1.3.3.1利用其幾何意義計算定積分(116)

題型1.3.3.2計算對稱區間上的定積分(117)

題型1.3.3.3計算周期函式的定積分(119)

題型1.3.3.4利用定積分的常用計算公式計算定積分(121)

題型1.3.3.5計算被積函式含函式導數的積分(122)

題型1.3.3.6比較和估計定積分的大小(123)

題型1.3.3.7求解含積分值為常數的函式方程(124)

題型1.3.3.8計算幾類須分子區間積分的定積分(125)

題型1.3.3.9計算含參變數的定積分(127)

題型1.3.3.10計算需換元計算的定積分(127)

題型1.3.3.11求由定積分表示的變數極限(129)

1.3.4求解與變限積分有關的問題(129)

題型1.3.4.1計算含變限積分的極限(130)

題型1.3.4.2求變限積分的導數(132)

題型1.3.4.3求變限積分的定積分(134)

題型1.3.4.4討論變限積分函式的性態(135)

1.3.5證明定積分等式(136)

題型1.3.5.1證明定積分的變換公式(136)

題型1.3.5.2證明含定積分的中值等式(137)

1.3.6證明定積分不等式(138)

題型1.3.6.1證明積分限相等時不等式兩端成為零的積分不等式(138)

題型1.3.6.2證明函式f(x)在［a,b］上的定積分滿足的不等式，其中f(x)在［a,b］上滿足拉格朗日中值定理的條件，且在區間端點處取零值(139)

題型1.3.6.3證明被積函式或其主要部分高階可導的定積分不等式(140)

題型1.3.6.4在題設條件或待證結論中，已知f(x)的定積分表達式，證其所滿足的定積分不等式(141)

1.3.7計算反常積分(141)

題型1.3.7.1計算無窮區間上的反常積分(141)

題型1.3.7.2判別無界函式的反常積分的斂散性，如收斂計算其值(144)

題型1.3.7.3判別混合型反常積分的斂散性，若收斂計算其值(146)

1.3.8定積分的套用(147)

題型1.3.8.1已知曲線方程，求其所圍平面圖形的面積(147)

題型1.3.8.2已知曲線所圍平面圖形的面積(或其旋轉體體積)反求該曲線(148)

題型1.3.8.3計算平面曲線的弧長(149)

題型1.3.8.4計算平行截面面積已知的立體體積(149)

題型1.3.8.5求旋轉體體積(150)

題型1.3.8.6求旋轉體的側(表)面積(152)

題型1.3.8.7求解幾何套用與值問題相結合的套用題(153)

題型1.3.8.8計算變力所做的功(154)

題型1.3.8.9計算變速運動的位移(155)

題型1.3.8.10計算液體的側壓力(156)

題型1.3.8.11計算細桿對質點的引力(156)

題型1.3.8.12計算函式在區間上的平均值(157)

1.4向量代數和空間解析幾何(158)

1.4.1向量代數及其簡單套用(158)

題型1.4.1.1用坐標表達式進行向量運算(158)

題型1.4.1.2計算向量的數量積、向量積、混合積(159)

題型1.4.1.3利用向量運算證明(確定)向量關係(161)

1.4.2求平面方程(161)

題型1.4.2.1求過已知點的平面方程(162)

題型1.4.2.2求過已知直線的平面方程(163)

題型1.4.2.3根據平面在坐標軸上的相對位置求其方程(163)

題型1.4.2.4求過兩平面交線的平面方程(164)

1.4.3求直線方程(165)

題型1.4.3.1求過已知點的直線方程(166)

題型1.4.3.2求過已知點且與已知直線相交的直線方程(166)

題型1.4.3.3求與兩直線相交的直線方程(167)

題型1.4.3.4求直線在平面上的投影直線方程(168)

1.4.4討論直線與平面的位置關係(168)

題型1.4.4.1討論平面間的位置關係(168)

題型1.4.4.2討論直線與直線的位置關係(170)

題型1.4.4.3討論直線與平面的位置關係(171)

1.4.5求點到平面或到直線的距離(171)

題型1.4.5.1求點到平面的距離(172)

題型1.4.5.2求點到直線的距離(173)

1.4.6求二次曲面方程和空間曲線在坐標面上的投影方程(174)

題型1.4.6.1求坐標面上曲線繞坐標軸旋轉所得的旋轉曲面方程(174)

題型1.4.6.2求空間曲線繞坐標軸旋轉所得的曲面方程(175)

題型1.4.6.3求母線平行於坐標軸的柱面方程(176)

題型1.4.6.4求空間曲線在坐標面上的投影方程(177)

1.4.7求解空間解析幾何與線性代數、微積分相結合的綜合題(177)

1.5多元函式微分學及其套用(180)

1.5.1正確理解二元函式連續、可偏導及可微之間的關係(180)

題型1.5.1.1依定義判別二元函式在某點是否連續、可偏導及可微(180)

題型1.5.1.2判別二元函式連續、可偏導、可微之間的關係(182)

1.5.2計算多元函式的偏導數和全微分(183)

題型1.5.2.1利用隱函式存在定理確定隱函式(183)

題型1.5.2.2求抽象複合函式的偏導數(183)

題型1.5.2.3計算隱函式的導數(186)

題型1.5.2.4求對稱函式的偏導數(188)

題型1.5.2.5求與方嚮導數和梯度有關的問題(189)

題型1.5.2.6求二元函式的全微分(191)

1.5.3多元函式微分學的套用(191)

題型1.5.3.1已知空間曲線的參數方程，求其切線或法平面方程(191)

題型1.5.3.2已知空間曲線為兩曲面的交線，求其切線或法平面方程(192)

題型1.5.3.3已知空間曲面方程，求其切平面或法線方程(194)

題型1.5.3.4求二元函式的極值和值(195)

題型1.5.3.5求二(多)元函式的條件極值(198)

1.6多元函式積分學(200)

1.6.1利用區域的對稱性化簡多元函式的積分(200)

題型1.6.1.1計算積分區域具有對稱性，被積函式具有奇偶性的重積分(200)

題型1.6.1.2計算積分區域關於直線y=x對稱的二重積分(202)

題型1.6.1.3計算積分區域具有輪換對稱性的三重積分(203)

題型1.6.1.4計算積分曲線（面）具有對稱性的第1類曲線（面）積分(203)

題型1.6.1.5計算平面積分曲線關於y=x對稱的第1類曲線積分(204)

題型1.6.1.6計算空間積分曲線（曲面）具有輪換對稱性的第1類曲線（曲面）積分(205)

1.6.2交換積分次序及轉換二次積分(205)

題型1.6.2.1交換二次積分的積分次序(205)

題型1.6.2.2轉換二次積分(207)

1.6.3計算二重積分(208)

題型1.6.3.1計算被積函式分區域給出的二重積分(208)

題型1.6.3.2計算圓域或部分圓域上的二重積分(209)

1.6.4計算三重積分(211)

題型1.6.4.1計算積分域的邊界方程中含某個變數的方程只有兩個的三重積分(212)

題型1.6.4.2計算積分區域為旋轉體的三重積分(212)

題型1.6.4.3計算積分區域由球面或球面與錐面所圍成的三重積分(212)

題型1.6.4.4計算被積函式至少缺兩個變數的三重積分(214)

題型1.6.4.5計算易求出其截面區域上的二重積分的三重積分(215)

1.6.5計算曲線積分(215)

題型1.6.5.1計算第1類平面曲線積分(216)

題型1.6.5.2求解平面上與路徑無關的第二類曲線積分有關問題(217)

題型1.6.5.3計算平面上與路徑有關的第二類曲線積分(221)

題型1.6.5.4計算空間第二類曲線積分(223)

題型1.6.5.5計算積分曲線具有對稱性的第二類曲線積分(225)

1.6.6計算曲面積分(227)

題型1.6.6.1計算第1類曲面積分(227)

題型1.6.6.2計算第二類曲面積分(230)

題型1.6.6.3計算積分曲面具有對稱性的第二類曲面積分(237)

題型1.6.6.4已知第二類曲面積分的值，求被積式中的未知函式(237)

1.6.7多元函式積分學的套用(238)

題型1.6.7.1計算空間曲線的弧長(238)

題型1.6.7.2求曲面面積(238)

題型1.6.7.3計算立體體積(240)

題型1.6.7.4求質量、質心、形心及轉動慣量(241)

題型1.6.7.5計算變力沿曲線所做的功(245)

題型1.6.7.6計算物體對質點的引力(246)

題型1.6.7.7計算向量場的散度與流量(通量)(247)

題型1.6.7.8計算向量場的旋度與環流量(249)

1.7級數(251)

1.7.1判別三類常數項級數的斂散性(251)

題型1.7.1.1判別正項級數的斂散性(251)

題型1.7.1.2判別交錯級數的斂散性(255)

題型1.7.1.3判別任意項級數的斂散性(257)

1.7.2證明常數項級數的斂散性(260)

題型1.7.2.1證明一般項為或可化為相鄰兩項代數和的級數的斂散性(260)

題型1.7.2.2已知一級數收斂，證明相關級數收斂(261)

題型1.7.2.3已知一般項有極限，證明該級數的斂散性(262)

題型1.7.2.4證明(判別)一般項為(含)定積分的級數的斂散性(262)

題型1.7.2.5證明一般項用遞推關係式給出的級數的斂散性(263)

題型1.7.2.6已知函式高階可導，證明由該函式值組成的級數的斂散性(263)

題型1.7.2.7利用級數的收斂性，求有關數列的極限(263)

1.7.3冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂域的求法(264)

1.7.4求冪級數與數項級數的和(266)

題型1.7.4.1求∑∞n=1P(n)xn的和函式，P(n)為n的多項式(267)

題型1.7.4.2求∑∞n=01Q(n)xn的和函式，Q(n)為n的多項式(269)

題型1.7.4.3求含階乘因子的冪級數的和函式(271)

題型1.7.4.4求數項級數的和(273)

1.7.5將簡單函式間接展開成冪級數(276)

題型1.7.5.1求反三角函式的冪級數展開式(276)

題型1.7.5.2將對數函式展成冪級數(277)

題型1.7.5.3將有理分式函式展成冪級數(277)

題型1.7.5.4將三角函式展成冪級數(277)

題型1.7.5.5利用冪級數展開式求函式的高階導數(278)

1.7.6傅立葉級數(278)

題型1.7.6.1將周期函式展為傅立葉級數(278)

題型1.7.6.2求傅立葉係數(283)

題型1.7.6.3求傅立葉級數的和函式在某點的值(284)

1.8常微分方程(285)

1.8.1求解一階線性微分方程(285)

題型1.8.1.1求解可分離變數的微分方程(285)

題型1.8.1.2求解齊次方程(286)

題型1.8.1.3求解一階線性方程(287)

題型1.8.1.4求解幾類可化為一階線性方程的方程(288)

題型1.8.1.5求解方程P(x,y)dx Q(x,y)dy=0(289)

題型1.8.1.6求解由變數的增量關係給出的一階方程(291)

題型1.8.1.7求滿足某種性質的一階微分方程的特解(291)

1.8.2求解二階(高階)線性微分方程(292)

題型1.8.2.1利用線性微分方程解的結構和性質求解有關問題(293)

題型1.8.2.2求解可降階的二階微分方程(294)

題型1.8.2.3求解高階常係數齊次線性方程(295)

題型1.8.2.4求解二階常係數非齊次線性方程(296)

題型1.8.2.5變換已知的微分方程為新的形式，並求其解(299)

題型1.8.2.6求解歐拉方程(300)

題型1.8.2.7求解含變限積分的方程(301)

題型1.8.2.8求解可化為一階線性微分方程的函式方程(302)

1.8.3已知特解反求其常係數線性方程(302)

題型1.8.3.1已知特解反求其齊次方程(302)

題型1.8.3.2已知特解反求其非齊次方程(303)

1.8.4用微分方程求解幾何和物理中的簡單套用題(304)

第2篇 線性代數

2.1計算行列式(310)

2.1.1計算數字型行列式(310)

題型2.1.1.1計算非零元素主要在一條或兩條對角線上的行列式(310)

題型2.1.1.2計算非零元素在三條線上的行列式(311)

題型2.1.1.3計算行(列)和相等的行列式(312)

題型2.1.1.4計算范德蒙行列式(313)

題型2.1.1.5求代數餘子式線性組合的值(315)

題型2.1.1.6計算n階可逆矩陣的所有代數餘子式的和(315)

2.1.2計算抽象矩陣的行列式(316)

題型2.1.2.1求由行(列)向量表示的矩陣的行列式的值(316)

題型2.1.2.2計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式(317)

題型2.1.2.3計算含零子塊的四分塊矩陣的行列式(318)

題型2.1.2.4證明方陣的行列式等於零，或不等於零(318)

2.1.3克拉默法則的套用(319)

2.2矩陣(321)

2.2.1證明矩陣的可逆性(321)

題型2.2.1.1已知一矩陣等式，證明有關矩陣可逆,並求其逆矩陣(321)

題型2.2.1.2證明矩陣A可逆，且A-1=B(322)

題型2.2.1.3證明和(差)矩陣可逆(323)

題型2.2.1.4求矩陣的逆矩陣,該矩陣含一(些)矩陣的逆矩陣(324)

題型2.2.1.5證明方陣為不可逆矩陣(325)

2.2.2矩陣元素給定，求其逆矩陣的方法(325)

2.2.3求解與伴隨矩陣有關的問題(326)

題型2.2.3.1計算與伴隨矩陣有關的矩陣行列式(327)

題型2.2.3.2求與伴隨矩陣有關的矩陣的逆矩陣(328)

題型2.2.3.3求與伴隨矩陣有關的矩陣的秩(328)

題型2.2.3.4求伴隨矩陣(328)

2.2.4計算n階矩陣的高次冪(329)

題型2.2.4.1計算能分解為一列向量與一行向量相乘的矩陣的高次冪(329)

題型2.2.4.2計算能相似對角化的矩陣的高次冪(330)

題型2.2.4.3計算能分解為兩可交換矩陣之和的矩陣的高次冪(331)

題型2.2.4.4計算其平方等於原矩陣或單位矩陣倍數的矩陣的高次冪(331)

2.2.5求矩陣的秩(332)

題型2.2.5.1求元素具體給定的矩陣的秩(332)

題型2.2.5.2求含抽象矩陣或含待定常數的矩陣的秩(333)

題型2.2.5.3已知矩陣的秩，求其待定常數(336)

2.2.6分塊矩陣乘法運算的套用舉例(337)

2.2.7求解矩陣方程(338)

題型2.2.7.1求解含單位矩陣加項的矩陣方程(338)

題型2.2.7.2求解只含一個未知矩陣的矩陣方程(340)

題型2.2.7.3求解含多個未知矩陣的矩陣方程(340)

題型2.2.7.4已知一矩陣方程，求方程中某矩陣的行列式(342)

2.2.8初等變換與初等矩陣的關係的套用(343)

題型2.2.8.1用初等矩陣表示相應的初等變換(343)

題型2.2.8.2利用初等矩陣的逆矩陣的性質計算矩陣(344)

2.3向量(345)

2.3.1判別向量組線性相關與線性無關(345)

題型2.3.1.1用線性相關性定義做選擇題、填空題(345)

題型2.3.1.2判別分量已知的向量組的線性相關性(346)

題型2.3.1.3證明幾類向量組的線性相關性(347)

題型2.3.1.4已知向量組的線性相關性，求其待定常數(352)

2.3.2判定向量能否由向量組線性表示(353)

題型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量組線性表示(353)

題型2.3.2.2判斷一抽象向量能否由向量組線性表示(354)

題型2.3.2.3判別一向量組能否由另一向量組線性表示(355)

2.3.3兩向量組等價的判別方法及常用證法(356)

2.3.4向量組的秩與極大線性無關組(359)

題型2.3.4.1求分量給出的向量組的秩及其極大線性無關組(360)

題型2.3.4.2將向量用極大線性無關組線性表示(361)

題型2.3.4.3證明抽象向量組的秩有關問題(361)

題型2.3.4.4證某向量組為一極大無關組(363)

2.3.5向量空間(364)

題型2.3.5.1求解空間的基、標準正交基(規範正交基)(364)

題型2.3.5.2求過渡矩陣(366)

題型2.3.5.3求向量在某組基下的坐標(367)

2.4線性方程組(371)

2.4.1判定線性方程組解的情況(371)

題型2.4.1.1判定齊次線性方程組解的情況(371)

題型2.4.1.2判定非齊次線性方程組解的情況(373)

2.4.2由其解反求方程組或其參數(375)

題型2.4.2.1已知AX=0的解的情況，反求A中參數(375)

題型2.4.2.2已知AX=b的解的情況，反求方程組中參數(376)

題型2.4.2.3已知其基礎解系，求該方程組的係數矩陣(377)

2.4.3證明一組向量為基礎解系(378)

2.4.4基礎解系和特解的簡便求法(379)

2.4.5求解含參數的線性方程組(380)

題型2.4.5.1求解方程個數與未知數個數相等的含參數的線性方程組(381)

題型2.4.5.2求解方程個數與未知數個數不等的含參數的線性方程組(381)

題型2.4.5.3求解參數僅出現在常數項的線性方程組(382)

題型2.4.5.4求含參數的方程組滿足一定條件的通解(383)

題型2.4.5.5求解有無窮多解的矩陣方程(384)

2.4.6求抽象線性方程組的通解(385)

題型2.4.6.1A沒有具體給出，求AX=0的通解(385)

題型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解(386)

題型2.4.6.3利用線性方程組的向量形式求(證明)其解(388)

2.4.7求兩線性方程組的非零公共解(389)

題型2.4.7.1求兩齊次線性方程組的非零公共解(389)

題型2.4.7.2證明兩齊次線性方程組有非零公共解(392)

題型2.4.7.3討論兩方程組同解的有關問題(392)

2.5矩陣的特徵值、特徵向量(394)

2.5.1求矩陣的特徵值、特徵向量(394)

題型2.5.1.1求元素給出的矩陣的特徵值、特徵向量(394)

題型2.5.1.2證明(求)抽象矩陣的特徵值、特徵向量(396)

2.5.2由特徵值和(或)特徵向量反求其矩陣(398)

題型2.5.2.1由特徵值和(或)特徵向量反求矩陣的待定常數(398)

題型2.5.2.2已知特徵值、特徵向量，反求其矩陣(399)

題型2.5.2.3計算Anβ,其中β為列向量,A為方陣(401)

2.5.3求相關聯矩陣的特徵值、特徵向量(401)

2.5.4判別同階方陣是否相似(403)

題型2.5.4.1判別或證明方陣是否可對角化(403)

題型2.5.4.2判別或證明兩同階方陣是否相似(406)

2.5.5相似矩陣性質的簡單套用(407)

2.5.6與兩矩陣相似有關的計算(408)

題型2.5.6.1矩陣A可相似對角化，求A中待定常數及可逆矩陣P，使P-1AP=diag(λ1,λ2,…，λn),其中λ1,λ2,…,λn為A的特徵值(408)

題型2.5.6.2A為實對稱矩陣，求A中待定常數及正交矩陣Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn為A的特徵值(409)

題型2.5.6.3A為實對稱矩陣，求與其相似的對角矩陣Λ(410)

題型2.5.6.4已知矩陣A和可逆矩陣P滿足一等式，求矩陣B，使P-1AP=B(410)

2.6二次型(412)

2.6.1化二次型為標準形(412)

題型2.6.1.1化二次型為標準形(412)

題型2.6.1.2已知二次型的標準形，確定該二次型(421)

2.6.2判別或證明實二次型（實對稱矩陣）的正定性(422)

題型2.6.2.1判別或證明具體二次型（或實對稱矩陣）的正定性(423)

題型2.6.2.2判別或證明抽象的二次型(或實對稱矩陣)的正定性(425)

題型2.6.2.3確定參數的取值範圍使二次型或其矩陣正定(427)

題型2.6.2.4證明與正定矩陣相關聯的矩陣的正定性(428)

2.6.3契約矩陣(428)

題型2.6.3.1判別兩實對稱矩陣契約(428)

題型2.6.3.2討論矩陣等價、相似及契約的關係(430)

第3篇 機率論與數理統計

3.1隨機事件和機率(433)

3.1.1隨機事件間的關係及運算(433)

題型3.1.1.1描繪隨機試驗的樣本空間(433)

題型3.1.1.2用式子表示事件關係及其運算(433)

題型3.1.1.3利用事件運算的性質或圖示法簡化事件算式(434)

題型3.1.1.4求滿足一定條件的事件關係(434)

3.1.2直接計算隨機事件的機率(435)

題型3.1.2.1計算古典型機率(435)

題型3.1.2.2計算幾何型機率(436)

題型3.1.2.3計算伯努利概型中事件的機率(438)

3.1.3間接計算隨機事件的機率(439)

題型3.1.3.1計算和、差、積事件的機率(439)

題型3.1.3.2求與包含關係有關的事件的機率(441)

題型3.1.3.3計算與互斥事件有關的事件的機率(442)

題型3.1.3.4求與條件機率有關的事件的機率(442)

題型3.1.3.5求與他事件有關的單個事件的機率(443)

題型3.1.3.6判別或證明事件機率不等式(443)

3.1.4幾個計算機率公式的實際套用(444)

題型3.1.4.1用加法公式求解實際套用題(444)

題型3.1.4.2用條件機率與機率的乘法公式求解實際套用題(445)

題型3.1.4.3用全概公式和逆概(貝葉斯)公式求解實際套用題(445)

題型3.1.4.4利用抽籤原理計算事件機率(449)

3.1.5判別事件的獨立性(450)

題型3.1.5.1判別(證明)兩事件相互獨立(450)

題型3.1.5.2判別(證明)n(n＞2)個事件相互獨立(451)

3.2一維隨機變數及其分布(453)

3.2.1分布列、機率密度及分布函式性質的套用(453)

題型3.2.1.1判別分布列、機率密度及分布函式(454)

題型3.2.1.2利用分布的性質，確定待定常數或所滿足的條件(456)

題型3.2.1.3求隨機變數落在某點或某區間上的機率(456)

3.2.2求分布列(機率分布)、機率密度及分布函式(458)

題型3.2.2.1求機率分布(分布律)及其分布函式(458)

題型3.2.2.2求連續型或混合型隨機變數的分布函式或其取值(460)

題型3.2.2.3求機率密度(462)

3.2.3利用常見分布計算有關事件的機率(463)

題型3.2.3.1利用二項分布計算伯努利概型中事件的機率(463)

題型3.2.3.2利用超幾何分布計算事件的機率(465)

題型3.2.3.3利用幾何分布計算事件的機率(466)

題型3.2.3.4利用泊松分布計算事件的機率(467)

題型3.2.3.5利用均勻分布計算事件的機率(468)

題型3.2.3.6利用指數分布計算事件的機率(469)

題型3.2.3.7利用常態分配計算事件的機率(471)

題型3.2.3.8利用相關分布與二項分布相結合計算事件的機率(474)

3.2.4隨機變數函式的分布(474)

題型3.2.4.1已知一離散型隨機變數的分布,求其函式(另一離散型隨機變數)的分布

(474)

題型3.2.4.2已知一連續型隨機變數的分布，求其函式(另一連續型隨機變數)的分布

(476)

題型3.2.4.3已知一連續型隨機變數的分布,求其函式(離散型隨機變數)的分布(479)

題型3.2.4.4討論隨機變數函式分布的性質(480)

3.3二維隨機變數的聯合機率分布(481)

3.3.1求二維隨機變數的分布(481)

題型3.3.1.1求二維離散型隨機變數的聯合分布律(481)

題型3.3.1.2求二維隨機變數的邊緣分布(484)

題型3.3.1.3由聯合分布、邊緣分布求條件分布(488)

題型3.3.1.4由條件分布反求聯合分布、邊緣分布(491)

題型3.3.1.5已知分區域定義的聯合密度，求其分布函式(492)

3.3.2隨機變數的獨立性(493)

題型3.3.2.1判別兩隨機變數的獨立性(493)

題型3.3.2.2利用獨立性確定聯合分布中的待定常數(497)

3.3.3計算二維隨機變數取值的機率(498)

題型3.3.3.1計算兩離散型隨機變數運算後取值的機率(498)

題型3.3.3.2求二維連續型隨機變數落入平面區域內的機率(499)

題型3.3.3.3求與max(X,Y)或(和)min(X,Y)有關的機率(500)

題型3.3.3.4求係數為隨機變數的二次方程有根、無根的機率(501)

3.3.4求二維隨機變數函式的分布(502)

題型3.3.4.1已知(X，Y)的聯合分布律，求Z=g(X,Y)的分布律(502)

題型3.3.4.2求兩隨機變數之和的分布(504)

題型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max(X,Y)或(和)min(X,Y)的分布(507)

3.4隨機變數的數字特徵(511)

3.4.1求一維隨機變數的數字特徵(511)

題型3.4.1.1求隨機變數的數學期望與方差(511)

題型3.4.1.2求隨機變數函式的數學期望與方差(515)

題型3.4.1.3計算隨機變數的矩(518)

3.4.2求二維隨機變數的數字特徵(519)

題型3.4.2.1求(X，Y)的函式g(X，Y)的數學期望和方差(519)

題型3.4.2.2計算協方差和相關係數(522)

3.4.3計算兩類分布的數字特徵(527)

題型3.4.3.1計算常態分配的數字特徵(527)

題型3.4.3.2計算Z=max(X,Y)或(和)W=min(X,Y)的數字特徵(528)

3.4.4討論隨機變數相關性與獨立性的關係(531)

題型3.4.4.1確定兩隨機變數相關與不相關(531)

題型3.4.4.2討論相關性與獨立性的關係(532)

3.4.5已知數字特徵，求分布中的待定常數(533)

3.4.6求解兩類綜合套用題(535)

題型3.4.6.1求解與數字特徵有關的實際套用題(535)

題型3.4.6.2求解機率論與其他數學分支的綜合套用題(535)

3.5大數定律和中心極限定理(538)

3.5.1用切比雪夫不等式估計事件的機率(538)

3.5.2大數定律成立的條件和結論(540)

題型3.5.2.1利用三個大數定律成立的條件解題(542)

題型3.5.2.2求隨機變數序列依機率的收斂值(544)

3.5.3兩個中心極限定理的簡單套用(545)

題型3.5.3.1利用棣莫弗拉普拉斯定理近似計算事件機率(545)

題型3.5.3.2已知隨機變數取值的機率，估計取值範圍(546)

題型3.5.3.3套用列維林德伯格中心極限定理的條件、結論解題(546)

題型3.5.3.4近似計算n個隨機變數之和取值的機率(547)

題型3.5.3.5已知n個隨機變數之和取值的機率，求個數n(548)

3.6數理統計初步(549)

3.6.1求解與統計量分布有關的問題(549)

題型3.6.1.1求解與統計量分布有關的基本概念問題(549)

題型3.6.1.2求統計量的分布及其分布參數(552)

題型3.6.1.3求統計量取值的機率(557)

題型3.6.1.4求統計量的數字特徵(559)

題型3.6.1.5求經驗分布函式(560)

3.6.2參數估計(561)

題型3.6.2.1求總體分布中未知參數的矩估計量(值)(562)

題型3.6.2.2求未知參數的極大似然估計量（值）(565)

題型3.6.2.3判別估計量的無偏性(569)

題型3.6.2.4求正態總體參數的置信區間及其有關參數(572)

3.6.3假設檢驗(575)

題型3.6.3.1計算簡單情形下的兩類錯誤機率(576)

題型3.6.3.2對單個正態總體參數進行假設檢驗(576)

題型3.6.3.3對兩個正態總體參數進行假設檢驗(578)

題型3.6.3.4用檢驗方法及其結論做填空題與選擇題(579)

附錄一經典常考題型同步測試題(581)

附錄二習題答案與提示(624)

作者簡介

毛綱源，武漢理工大學資深教授，畢業於武漢大學，留校任教，後調入武漢工業大學（現武漢理工大學）擔任數學物理系系主任，在高校從事數學教學與科研工作40餘年，除了出版多部專著（早在1998年，世界科技出版公司World Scientific Publishing Company就出版過他主編的線性代數Linear Algebra的英文教材）和發表數十篇專業論文外，還發表10餘篇考研數學論文。 主講微積分、線性代數、機率論與數理統計等課程。理論功底深厚，教學經驗豐富，思維獨特。曾多次受邀在各地主講考研數學，得到學員的廣泛認可和一致好評：“知識淵博，講解深入淺出，易於接受”“解題方法靈活，技巧獨特，輔導針對性極強”“對考研數學的出題形式、考試重點難點了如指掌，上他的輔導班受益匪淺”。