羅姆方

羅姆方(Room square)是一類特殊的組合設計，將一個2n元集的所有2元子集放在一個2n-1階的方陣中，使其中每個位置或者空著，或者放一個2元子集，並使這2n個元在每一行各出現一次，且在每一列各出現一次，稱這樣的方陣為2n-1階的羅姆方。

基本介紹

• 中文名：羅姆方
• 外文名：Room square
• 所屬學科：數學（組合學）
• 簡介：一類特殊的組合設計

基本介紹

羅姆方最早出現在1850年柯克曼女生問題的論文中，利用下圖的7階羅姆方可以作出15女生問題的一個解，一個解由7個平行類構成，每個平行類由一個行得到，將該行上每個2元子集連同它的列標號構成一個三元組，共得四個三元組，連同該行三個空格的列標號構成的三元組，形成15元集上的一個平行類。

a	b	c	d	e	f	g
			35	17	∞2	46
	26	∞4			45	37
	13	57	∞6	24
47		16		∞3		25
∞5		23	14		67
12	∞7			56	34
36	45		27			∞1

標準羅姆方

標準羅姆方(standardized Room square)是特殊形式的羅姆方，設n階羅姆方的元素集合為{∞，1，2，…，n}，若主對角線上元素對依次為{∞，1}，{∞，2}，…，{∞，n}，則稱之為標準羅姆方，任一個羅姆方都可經交換兩行、交換兩列這樣的變換變為標準羅姆方。

t維羅姆方

t維羅姆方(t-dimensional Room square)是羅姆方的高維推廣，設n階t維方陣中每個位置或者放一個元素的無序對或者空著，若它的每一個2維投影是一個n階羅姆方，則稱之為n階t維羅姆方。n階t維羅姆方的存在性等價於t個n階兩兩正交對稱拉丁方的存在性，當t=3時，稱t維羅姆方為羅姆立方，n階羅姆立方存在的充分必要條件與n階羅姆方存在的充分必要條件一樣，即，n是不等於3和5的奇正整數。

平衡羅姆方

平衡羅姆方(balanced Room square)是一類特殊的羅姆方，若將一個羅姆方的每個2元子集{x，y}用有序對(x，y)或(y，x)代替，則所得的方陣稱為有序羅姆方，設有一個2n-1階有序羅姆方，將每一行中出現在第一個坐標的元組成一個區組，出現在第二個坐標的元也組成一個區組，若這樣的2(2n-1)個區組構成一個

(2n，2(2n-1)，2n-1，n，n-1)-BIBD，

則稱該有序羅姆方為平衡羅姆方.一個2n-1階平衡羅姆方BRS(2n-1)的存在性等價於一個完全平衡豪韋爾旋轉CBHR(2n)的存在性(參見“完全平衡豪韋爾旋轉”)，已有各種構造BRS(2n-1)的方法，例如，當q為模4餘3的質數冪時，存在BRS(q+1)及BRS(2q+2)。

完美羅姆方

完美羅姆方(perfect Room square)是一類特殊的羅姆方，若完全圖K_2n的某個1因子分解中每兩個1因子的並是一個長2n的圈，則稱這樣的分解為完美1因子分解，若一個羅姆方的行1因子分解與列1因子分解(參見“正交1因子分解”)都是完美1因子分解，則稱這樣的羅姆方為完美羅姆方。

斜羅姆方

斜羅姆方(skew Room square)是一類特殊的羅姆方，在一個標準羅姆方中，若關於主對角線對稱的每兩個位置中恰有一個是空的，則稱之為斜羅姆方，n階斜羅姆方存在的充分必要條件是n為不等於3和5的奇正整數，從n階斜羅姆方的存在性可以導出2n+1階和2n-1階羅姆方的存在性，還可導出一個(n，4，6)-BIBD的存在性。