總體剛度矩陣

有限元法

矩陣位移法是有限元法的雛形，包含兩個基本環節：（1）單元分析；（2）整體分析。

有限元法的要點：先把結構整體拆開，分解成若干個單元，即離散化。然後，在將這些單元按照一定的條件集合成整體。在一分一合，先拆後搭的過程中，把複雜結構的計算問題轉化為簡單單元的分析和集合問題。

選用局部坐標系，都是以桿件的軸線作為x軸。但從整體分析時，在一個結構中，各個桿件的桿軸方向不盡相同，各個局部坐標系也不盡相同，很不統一。為了便於整體分析，必須選用統一的公共坐標系，稱為整體坐標系。從局部坐標系的單元剛度矩陣到整體坐標系下的單元剛度矩陣是很關鍵的一步。

節點編碼：在整體分析中，節點位移在結構中要進行統一編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個單元的兩個節點位移各自的編碼，稱為局部碼。

當得到了整體坐標系下各單元的單元剛度矩陣時，就需要按照兩種編碼對各個單元剛度矩陣進行整合，以形成整體坐標系下的整體剛度矩陣。

詳細內容見結構力學書。

單元剛度矩陣奇異

如a=[

1 0 0 2/3 -1 -2/3

0 1/3 2/3 0 -2/3 -1/3

0 2/3 4/3 0 -4/3 -2/3

2/3 0 0 4 -2/3 -4

-1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3

-2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3

];

inv(a)

Warning: Matrix is singular to working precision.

ans =

Inf Inf Inf Inf Inf Inf

>> det(a)

ans =

0

單元剛度矩陣一定是奇異的，這一點一般的有限元書上都有證明，給定某個位移為1，其它位移為0，代入F=KΔ，再由力的平衡關係，可推出矩陣(方陣)的該列元素的和為0，依次定義不同的非0位移，可得知其它列有同樣性質，因此方陣的行列式為0，由此可知該方陣是奇異的。一般k為稀疏帶狀矩陣。

應該說結構剛度矩陣在沒有引入邊界條件之前是奇異的，因為如果沒有引入邊界條件的話，對整個結構來說存在著剛體位移，也就是說ku=f這個方程存在著非零解，引入邊界條件的話就是約束結構的整體剛體位移，使得剛度矩陣從奇異轉化為非奇異。