《線性代數與空間解析幾何案例教程》是«線性代數與空間解析幾何及其套用»的輔導教材,對線性代數與空間解析幾何課程的基本概念、重點難點、疑難問題進行總結、歸納和分析．《線性代數與空間解析幾何案例教程》共六章,包括:矩陣的運算及其初等變換、行列式與逆矩陣、幾何向量平面與直線、n 維向量與線性方程組、特徵值與特徵向量、二次型與二次曲面．
《線性代數與空間解析幾何案例教程》對經典例題和考研題進行了較詳細的分析和求解,歸納總結了線性代數與空間解析幾何中分析問題和處理問題的基本方法和技巧,並通過套用案例解析及MATLAB實現,把抽象、冗繁、枯燥的理論知識與實際套用緊密聯繫起來,提高學生解決實際問題的能力．
基本介紹
- 書名：線性代數與空間解析幾何案例教程
- 出版社：科學出版社
- 頁數：268頁
- 開本：16
- 作者：陳東升
- 出版日期：2014年8月28日
- 語種：簡體中文
- 品牌：科學出版社
圖書目錄,文摘,
圖書目錄
目 錄
第一章 矩陣的運算及其初等變換 1一、主要概念、性質、定理 1 (一)矩陣的概念 1 (二)矩陣的運算 2 (三)矩陣分塊法 4 (四)矩陣的初等變換 6二、重點、難點解讀 7三、疑難問題解答 8四、案例解析 10 (一)經典例題方法與技巧案例 10 (二)考研題方法與技巧案例 18 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 19五、複習題及解答 25複習題一 25複習題一解答 26第二章 行列式與逆矩陣 29一、主要概念、性質、定理 29 (一)n階行列式 29 (二)行列式的性質 31 (三)行列式按行 (列)展開 34 (四)克拉默法則 34 (五)逆矩陣 35 (六)矩陣的秩 37 (七)線性方程組的高斯消元法 38二、重點、難點解讀 38三、疑難問題解答 40四、案例解析 41 (一)經典例題方法與技巧案例 41 (二)考研題方法與技巧案例 61 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 74五、複習題及解答 81複習題二 81複習題二解答 82第三章 幾何向量平面與直線 85一、主要概念、性質、定理 85
(一)幾何向量及其線性運算 85 (二)幾何向量的投影及坐標表示 87 (三)幾何向量的數量積、向量積、混合積 91 (四)空間的平面和直線 94二、重點、難點解讀 98三、疑難問題解答 98四、案例解析 100 (一)經典例題方法與技巧案例 100 (二)考研題方法與技巧案例 104 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 107五、複習題及解答 114複習題三 114複習題三解答 115第四章 n維向量與線性方程組 120一、主要概念、性質、定理及方法 120 (一)n維向量 120 (二)向量組的線性相關性 121 (三)向量組的秩 124 (四)齊次線性方程組解的結構 126 (五)非齊次線性方程組解的結構 128二、重點、難點解讀 130三、疑難問題解答 130四、案例解析 133 (一)經典例題方法與技巧案例 133 (二)考研題方法與技巧案例 142 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 157五、複習題及解答 165複習題四 165複習題四解答 166第五章 特徵值與特徵向量 170一、主要概念、性質、定理 170 (一)n維向量的內積 170 (二)矩陣的特徵值與特徵向量 172 (三)相似矩陣 173 (四)實對稱矩陣的對角化 174二、重點、難點解讀 174三、疑難問題解答 175四、案例解析 177 (一)經典例題方法與技巧案例 177 (二)考研題方法與技巧案例 185
(三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 194五、複習題及解答 201複習題五 201複習題五解答 203第六章 二次型與二次曲面 210一、主要概念、性質、定理 210 (一)二次型及其標準形 210 (二)正定二次型 211 (三)二次曲面 213二、重點、難點解讀 219三、疑難問題解答 220四、案例解析 224 (一)經典例題方法與技巧案例 224 (二)考研題方法與技巧案例 234 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 242五、複習題及解答 254複習題六 254複習題六解答 255參考文獻 260
第一章 矩陣的運算及其初等變換 1一、主要概念、性質、定理 1 (一)矩陣的概念 1 (二)矩陣的運算 2 (三)矩陣分塊法 4 (四)矩陣的初等變換 6二、重點、難點解讀 7三、疑難問題解答 8四、案例解析 10 (一)經典例題方法與技巧案例 10 (二)考研題方法與技巧案例 18 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 19五、複習題及解答 25複習題一 25複習題一解答 26第二章 行列式與逆矩陣 29一、主要概念、性質、定理 29 (一)n階行列式 29 (二)行列式的性質 31 (三)行列式按行 (列)展開 34 (四)克拉默法則 34 (五)逆矩陣 35 (六)矩陣的秩 37 (七)線性方程組的高斯消元法 38二、重點、難點解讀 38三、疑難問題解答 40四、案例解析 41 (一)經典例題方法與技巧案例 41 (二)考研題方法與技巧案例 61 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 74五、複習題及解答 81複習題二 81複習題二解答 82第三章 幾何向量平面與直線 85一、主要概念、性質、定理 85
(一)幾何向量及其線性運算 85 (二)幾何向量的投影及坐標表示 87 (三)幾何向量的數量積、向量積、混合積 91 (四)空間的平面和直線 94二、重點、難點解讀 98三、疑難問題解答 98四、案例解析 100 (一)經典例題方法與技巧案例 100 (二)考研題方法與技巧案例 104 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 107五、複習題及解答 114複習題三 114複習題三解答 115第四章 n維向量與線性方程組 120一、主要概念、性質、定理及方法 120 (一)n維向量 120 (二)向量組的線性相關性 121 (三)向量組的秩 124 (四)齊次線性方程組解的結構 126 (五)非齊次線性方程組解的結構 128二、重點、難點解讀 130三、疑難問題解答 130四、案例解析 133 (一)經典例題方法與技巧案例 133 (二)考研題方法與技巧案例 142 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 157五、複習題及解答 165複習題四 165複習題四解答 166第五章 特徵值與特徵向量 170一、主要概念、性質、定理 170 (一)n維向量的內積 170 (二)矩陣的特徵值與特徵向量 172 (三)相似矩陣 173 (四)實對稱矩陣的對角化 174二、重點、難點解讀 174三、疑難問題解答 175四、案例解析 177 (一)經典例題方法與技巧案例 177 (二)考研題方法與技巧案例 185
(三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 194五、複習題及解答 201複習題五 201複習題五解答 203第六章 二次型與二次曲面 210一、主要概念、性質、定理 210 (一)二次型及其標準形 210 (二)正定二次型 211 (三)二次曲面 213二、重點、難點解讀 219三、疑難問題解答 220四、案例解析 224 (一)經典例題方法與技巧案例 224 (二)考研題方法與技巧案例 234 (三)套用案例解析及 MATLAB軟體實現 242五、複習題及解答 254複習題六 254複習題六解答 255參考文獻 260
文摘
第一章 矩陣的運算及其初等變換
一、主要概念、性質、定理
(一)矩陣的概念
1．矩陣的主要概念定義1 由 m×n個數a(2,.,j=1,n)排成的 m行n列的數表A=
ii=1,m；2,.,
j
稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣,其中a表示位於第i行第j列的數,又稱為矩陣
ai)m×ni
jj
的元素．
(1)矩陣的表示方法:C,.,或者 (),(),(),.,或 A)(
m；=2,.,)A,abcm×n,=(ii1,
jjjj
2,.,j1,n． B,iiiAam×n=
(2)方陣、實矩陣、復矩陣；行矩陣、列矩陣；同型矩陣,矩陣相等,零矩陣,單位矩陣 E=
(
1, i=j,0,i≠j,
{
(),其中δ
δj
ii
1,2,.,
n
i,=
j
j=
．
(n個變數x1,2,.,n與m個變數y1,2,.,m之間的關係式
3)xxyy
y1=a11x1+a12x2+.+a1nxn,
ì. .
y2=a21x1+a22x2+.+a2nxn,
í
(1 1) 。 . 。
.... ym=am1x1+am2x2+.+amnxn
表示一個從變數x,.,到變數y1,2,.,的線性變換,其中aj是常數,線性變換的係數構成矩陣A=(i)m2x×n．線性變換和矩陣之間存在著一一對應關係．
1,xnyymi
j
(4)含有n個未知a量m個方程的線性方程組
=b1,
x1+a12
ì
a11
x2+.+a1nxn 。
a21
x1+a22x2+.+a2nxn=b2,
í
.... 。 . 。
am1
x1+am2x2+.+amnxn=bm 。 。 。 a1na11 a12 . a1nb1 。 。
a11
a12
÷÷÷ 。.
÷÷÷ 。.
a21 a22 . a2n .a21 a22 . a2nb2
的係數矩陣A=. .、增廣矩陣 A=. .、未知量列矩
÷
am2 。 amn bm
÷ 。 。 。
am2 。
è
am1
è
am1
amn 。 。
b1 。 。
x1 。 ÷÷÷ ..
÷÷÷ 。.
x2 b2
陣x=.、常數項列矩陣b=. ． 。
÷
。
è
bm
÷ 。 。è
xn
2．
幾種特殊的方陣對角矩陣、數量矩陣、上(下)三角矩陣．
3．
行階梯形矩陣
如果矩陣 A滿足以下條件 :
(1)如果 A有零行 (元素全為零的行 ),那么零行位於最下方 ；
(2)非零行的非零首元 (自左至右第一個不為零的元素 )的列標隨行的遞增而遞增 ,則稱 A為行階梯形矩陣．這時稱 A中非零行的行數為 A的階梯數 ,即如下形狀的矩陣稱為行階梯形矩陣 : 。 ....è 。1 . . . . 。2 . . .
. . .i . . 。
。 . . 。 。 . . . . . ,. . .
÷÷÷÷÷÷...÷÷ . 。r . .
()(),.1≤ ≤i其中空白處的元素全為零 表示該行中第一個不為零的元素 非零首元 每行的,ri( AAA3))定義負矩陣 設矩陣 稱矩陣記作為矩陣 的=－－aa,,ii．j ×j ×mnmn:b)(矩陣的減法 減去一個矩陣等於加上這個矩陣的負矩陣 ==,a,×jmn(()()； )(2 BCABCA++++加法結合律=
(
A2b)(定義設矩陣 = a×jjmn(
(
1．矩陣的加法(
()二矩陣的運算(
如果行階梯形矩陣 A還滿足條件 :
(1)
各非零首元全為1；
(2)
非零首元所在列的其餘元素全為0,
(
則稱 A為行簡化階梯形矩陣 (行最簡形矩陣 )．
非零首元必在前一行非零首元的右方．A)則 －=－=－aij(): ACB矩陣加法的運算律 設都是同型矩陣 ,,()1 ；ABBA++加法交換律= ()3；AOOAAOA++ 其中 是與矩陣 同型的零矩陣 ==, AA4kk定義數量乘積 以數 乘以矩陣 的每一個元素得到的矩陣 稱為數 與矩陣 的簡,,(
i與 B= )m×n,其對應元素相加所得到的矩陣 C=
i
(
a+bj )m×n稱為矩陣 A與B的和,記作 C=A+B．
iji即若 AiBi )m×n,
j
BA+B ibj )m×n．
(4)A+(－A)=O．
2．數乘矩陣
稱數乘 ,記作 kA或Ak．如果 Ai)m×n,那么 k= i)m×naj
= aj Ak aj = ki)m×n．
數量矩陣可表示為 kE．
數乘運算有下面的運算律 (設A,k,
(1)1A=A； B為同型矩陣 ,l為常數 ):
( A)A；
(2)kl( l
)= k
(
(3)kA+B
)=kA+kB；
(4)(k+l)A=kA+lA．
矩陣的加法運算和數乘運算統稱為矩陣的線性運算．
3．矩陣的乘法
( i= bj )s那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣C
定義5 設矩陣A= ak )m×s,B( k×n,=
(cj ,其中
i )m×n
s
c1bj+abj+ .+abj= ∑ kbji2,.,j=1,n
a (=1,m；2,.,),
ij=ai1 i22 issk=1 ik
記作C=AB．由定義可知,只有當第一個矩陣(左矩陣)的列數等於第二個矩陣(右矩陣)的行數時,兩個矩陣才能相乘．
(1)行矩陣與列矩陣相乘是一個數,列矩陣與行矩陣相乘是一個方陣．
ìa11x1+a12x2+.+a1nxn=b1, 。
(2)線性方程組 .
í a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2,用矩陣乘積可以表示為Ax=b． . .... .
。am1x1+am2x2+.+amnxn=bm 。x1 .y1 .
(3)線性變換(1 寫成矩陣形式y= x,其中A= (aj )m×n,= .. x2 ÷÷÷ ,= .. y2 ÷÷÷
1)Aixy． 。 。
÷ 。
÷
èxn .èym .
(B有意義時,A不一定有意義．即使AB和BA都有意義,也可能A這說明一般情況下矩陣的乘法不滿足交換律,因此矩陣相乘時必須說明順序,然而對於個別矩陣也可能出現AB=BA,這時稱A與B是可交換的．單位矩陣E與任意m×n矩陣A可交換．n階數量矩陣與任意n階矩陣是可交換．
4)ABB≠BA,
(5)
兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣．
(6)若
AB=AC,且A≠O,一般不能推出B=C,即消去律不成立．
(7)以數量矩陣
A乘以一個矩陣相當於用A的主對角線上的元素去乘該矩陣．
(8)同階的上
(下)三角形矩陣的加、減、數乘、乘積仍是同階的上(下)三角形矩陣．
矩陣的乘法雖然不滿足交換律及消去律,但仍滿足下列結合律和分配律(假設運算都是可行的):
(9)(AB= ( C) ；
)CAB
(10) A+B)CAC,( CB；
( = C+BCA+B)= A+C
(11)k(AB)= (kA)B=A(kB) (其中k為數)．
4．方陣的冪
m
定義6 設A是n階方陣,m是正整數,m個A相乘稱為A的m次冪,記為Am,即A=
m個
︷
AA.A．規定A0=E．方陣的冪滿足以下運算律:
(1)AkAl=
Ak+l；
k kl為正整數．
(2)(A)l=Al,其中k,
因為矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對於兩個n階方陣A與B,一般來說
(AB)k≠AkBk．
定義7 設f(= kxk+ak－1xk－1+.+a10是x的k次多項式 ,則
x)ax+aA是n階方陣 ,f(= Akk1Ak－11A+a0E稱為方陣 A的k次多項式．
A)a+a－x)+.+af(A)g(B)A)．A)A)g(f(．
(1)Ek同階的單位方陣 ,A)也是與 A同階的方陣．
是與 A而且 f((),為多項式 ,B均為 n階方陣 ,則f(一般
2)若f(xg(A,B)≠g(f(g(= A)A)
5．矩陣的轉置定義8 將m×n矩陣 A的行與列互換所得到的 n×m矩陣 ,稱為 A的轉置矩陣 ,記作 AT或A．
′
矩陣的轉置滿足下述運算律 (假設運算都是可行的 ):
(1)(AT )T=A；
T
(2)(A+B)T=A+BT；
(3)(kA)T=kAT(
TT
(4)(AB)=BTAk．為數 )；
可以把 (2)、(4)推廣到有限個矩陣的情形 ,即
T TT TTT
)T.A)TAT .ATTjj1,
(A1+A2+.+As =A1+A2+.+As , (A1A2 s =Ass－1 2A1．
設A為n階方陣 ,如果 AA(A),即ai)(i,) ,那么
稱A為對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．兩個同階對稱矩陣 (i反對稱a矩a陣)i的和a還是對稱矩陣(n反對稱矩陣 ),對稱矩陣 (反對稱矩陣 )與數的乘積也是對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．但是 ,兩個對稱矩陣 (反對稱矩陣 )的乘積不一定是對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．
= A=－j= i(j=－j=2,.,
6．共軛矩陣定義9 設A= (a其中 a為複數 ,a表示 a的共軛複數 ,= (.i)為
i)m×n,若.i則稱矩陣 Aa
ii
jjjj j
矩陣 A的共軛矩陣．
共軛矩陣的性質 :
(1)A=
A；
(2)k= A(
(3)A+
B=A+B；
(4)AB=
AB；
(5)(A)T=AT,(AB)T= (B)T (A)T．
A kk是複數 )；
(三)矩陣分塊法
1．矩陣的分塊
在處理階數較高的矩陣運算時 ,常採用分塊法使大矩陣的運算化成小矩陣的運算．我們將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣 ,每一個小矩陣稱為 A的子塊 ,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．注意分割線的縱橫線必須分割到底．
考慮矩陣分塊的原則是使分塊後的子矩陣中有便於利用的特殊矩陣 ,如單位矩陣、零矩陣、對角矩陣、三角矩陣等．如果把分塊矩陣的每一子塊當成矩陣的一個元素 ,可以按矩陣的運算法則建立分塊矩陣對應的運算法則 ,下面討論分塊矩陣的運算．
2．分塊運算
(1)分塊加法 設矩陣 A,採用相同的分塊法 ,
B是同型矩陣 , 有 。 .
B1r
A11 。
B11 。 。 ÷ ÷÷÷ ÷÷
As1 。 .è
Bs1 。 .è 。 。 . ， B=
A= ，.
As
r 。
Bs
r 。
A11+B11 . A1r+B1r 。 。 。 .
÷ ÷÷
As1+Bs1 。 .è
其中Ai與Bi是同型矩陣,則A+B=
jj
． 。
Asr+Bs
r 。 。 .
kA1r
A11 。
A1r
kA11 。 。 . .è
(；)i=1,s2,.,．
2,.,j=1,r
÷ ÷÷÷ ÷÷
As1 。 .è
(2)分塊數乘 設分塊矩陣A= 。 . 。 .
k為常數,則k ，A=
． 。 .
kAr
s
As
r
kAs1 。
(3
一、主要概念、性質、定理
(一)矩陣的概念
1．矩陣的主要概念定義1 由 m×n個數a(2,.,j=1,n)排成的 m行n列的數表A=
ii=1,m；2,.,
j
稱為m行n列矩陣,簡稱m×n矩陣,其中a表示位於第i行第j列的數,又稱為矩陣
ai)m×ni
jj
的元素．
(1)矩陣的表示方法:C,.,或者 (),(),(),.,或 A)(
m；=2,.,)A,abcm×n,=(ii1,
jjjj
2,.,j1,n． B,iiiAam×n=
(2)方陣、實矩陣、復矩陣；行矩陣、列矩陣；同型矩陣,矩陣相等,零矩陣,單位矩陣 E=
(
1, i=j,0,i≠j,
{
(),其中δ
δj
ii
1,2,.,
n
i,=
j
j=
．
(n個變數x1,2,.,n與m個變數y1,2,.,m之間的關係式
3)xxyy
y1=a11x1+a12x2+.+a1nxn,
ì. .
y2=a21x1+a22x2+.+a2nxn,
í
(1 1) 。 . 。
.... ym=am1x1+am2x2+.+amnxn
表示一個從變數x,.,到變數y1,2,.,的線性變換,其中aj是常數,線性變換的係數構成矩陣A=(i)m2x×n．線性變換和矩陣之間存在著一一對應關係．
1,xnyymi
j
(4)含有n個未知a量m個方程的線性方程組
=b1,
x1+a12
ì
a11
x2+.+a1nxn 。
a21
x1+a22x2+.+a2nxn=b2,
í
.... 。 . 。
am1
x1+am2x2+.+amnxn=bm 。 。 。 a1na11 a12 . a1nb1 。 。
a11
a12
÷÷÷ 。.
÷÷÷ 。.
a21 a22 . a2n .a21 a22 . a2nb2
的係數矩陣A=. .、增廣矩陣 A=. .、未知量列矩
÷
am2 。 amn bm
÷ 。 。 。
am2 。
è
am1
è
am1
amn 。 。
b1 。 。
x1 。 ÷÷÷ ..
÷÷÷ 。.
x2 b2
陣x=.、常數項列矩陣b=. ． 。
÷
。
è
bm
÷ 。 。è
xn
2．
幾種特殊的方陣對角矩陣、數量矩陣、上(下)三角矩陣．
3．
行階梯形矩陣
如果矩陣 A滿足以下條件 :
(1)如果 A有零行 (元素全為零的行 ),那么零行位於最下方 ；
(2)非零行的非零首元 (自左至右第一個不為零的元素 )的列標隨行的遞增而遞增 ,則稱 A為行階梯形矩陣．這時稱 A中非零行的行數為 A的階梯數 ,即如下形狀的矩陣稱為行階梯形矩陣 : 。 ....è 。1 . . . . 。2 . . .
. . .i . . 。
。 . . 。 。 . . . . . ,. . .
÷÷÷÷÷÷...÷÷ . 。r . .
()(),.1≤ ≤i其中空白處的元素全為零 表示該行中第一個不為零的元素 非零首元 每行的,ri( AAA3))定義負矩陣 設矩陣 稱矩陣記作為矩陣 的=－－aa,,ii．j ×j ×mnmn:b)(矩陣的減法 減去一個矩陣等於加上這個矩陣的負矩陣 ==,a,×jmn(()()； )(2 BCABCA++++加法結合律=
(
A2b)(定義設矩陣 = a×jjmn(
(
1．矩陣的加法(
()二矩陣的運算(
如果行階梯形矩陣 A還滿足條件 :
(1)
各非零首元全為1；
(2)
非零首元所在列的其餘元素全為0,
(
則稱 A為行簡化階梯形矩陣 (行最簡形矩陣 )．
非零首元必在前一行非零首元的右方．A)則 －=－=－aij(): ACB矩陣加法的運算律 設都是同型矩陣 ,,()1 ；ABBA++加法交換律= ()3；AOOAAOA++ 其中 是與矩陣 同型的零矩陣 ==, AA4kk定義數量乘積 以數 乘以矩陣 的每一個元素得到的矩陣 稱為數 與矩陣 的簡,,(
i與 B= )m×n,其對應元素相加所得到的矩陣 C=
i
(
a+bj )m×n稱為矩陣 A與B的和,記作 C=A+B．
iji即若 AiBi )m×n,
j
BA+B ibj )m×n．
(4)A+(－A)=O．
2．數乘矩陣
稱數乘 ,記作 kA或Ak．如果 Ai)m×n,那么 k= i)m×naj
= aj Ak aj = ki)m×n．
數量矩陣可表示為 kE．
數乘運算有下面的運算律 (設A,k,
(1)1A=A； B為同型矩陣 ,l為常數 ):
( A)A；
(2)kl( l
)= k
(
(3)kA+B
)=kA+kB；
(4)(k+l)A=kA+lA．
矩陣的加法運算和數乘運算統稱為矩陣的線性運算．
3．矩陣的乘法
( i= bj )s那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣C
定義5 設矩陣A= ak )m×s,B( k×n,=
(cj ,其中
i )m×n
s
c1bj+abj+ .+abj= ∑ kbji2,.,j=1,n
a (=1,m；2,.,),
ij=ai1 i22 issk=1 ik
記作C=AB．由定義可知,只有當第一個矩陣(左矩陣)的列數等於第二個矩陣(右矩陣)的行數時,兩個矩陣才能相乘．
(1)行矩陣與列矩陣相乘是一個數,列矩陣與行矩陣相乘是一個方陣．
ìa11x1+a12x2+.+a1nxn=b1, 。
(2)線性方程組 .
í a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2,用矩陣乘積可以表示為Ax=b． . .... .
。am1x1+am2x2+.+amnxn=bm 。x1 .y1 .
(3)線性變換(1 寫成矩陣形式y= x,其中A= (aj )m×n,= .. x2 ÷÷÷ ,= .. y2 ÷÷÷
1)Aixy． 。 。
÷ 。
÷
èxn .èym .
(B有意義時,A不一定有意義．即使AB和BA都有意義,也可能A這說明一般情況下矩陣的乘法不滿足交換律,因此矩陣相乘時必須說明順序,然而對於個別矩陣也可能出現AB=BA,這時稱A與B是可交換的．單位矩陣E與任意m×n矩陣A可交換．n階數量矩陣與任意n階矩陣是可交換．
4)ABB≠BA,
(5)
兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣．
(6)若
AB=AC,且A≠O,一般不能推出B=C,即消去律不成立．
(7)以數量矩陣
A乘以一個矩陣相當於用A的主對角線上的元素去乘該矩陣．
(8)同階的上
(下)三角形矩陣的加、減、數乘、乘積仍是同階的上(下)三角形矩陣．
矩陣的乘法雖然不滿足交換律及消去律,但仍滿足下列結合律和分配律(假設運算都是可行的):
(9)(AB= ( C) ；
)CAB
(10) A+B)CAC,( CB；
( = C+BCA+B)= A+C
(11)k(AB)= (kA)B=A(kB) (其中k為數)．
4．方陣的冪
m
定義6 設A是n階方陣,m是正整數,m個A相乘稱為A的m次冪,記為Am,即A=
m個
︷
AA.A．規定A0=E．方陣的冪滿足以下運算律:
(1)AkAl=
Ak+l；
k kl為正整數．
(2)(A)l=Al,其中k,
因為矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對於兩個n階方陣A與B,一般來說
(AB)k≠AkBk．
定義7 設f(= kxk+ak－1xk－1+.+a10是x的k次多項式 ,則
x)ax+aA是n階方陣 ,f(= Akk1Ak－11A+a0E稱為方陣 A的k次多項式．
A)a+a－x)+.+af(A)g(B)A)．A)A)g(f(．
(1)Ek同階的單位方陣 ,A)也是與 A同階的方陣．
是與 A而且 f((),為多項式 ,B均為 n階方陣 ,則f(一般
2)若f(xg(A,B)≠g(f(g(= A)A)
5．矩陣的轉置定義8 將m×n矩陣 A的行與列互換所得到的 n×m矩陣 ,稱為 A的轉置矩陣 ,記作 AT或A．
′
矩陣的轉置滿足下述運算律 (假設運算都是可行的 ):
(1)(AT )T=A；
T
(2)(A+B)T=A+BT；
(3)(kA)T=kAT(
TT
(4)(AB)=BTAk．為數 )；
可以把 (2)、(4)推廣到有限個矩陣的情形 ,即
T TT TTT
)T.A)TAT .ATTjj1,
(A1+A2+.+As =A1+A2+.+As , (A1A2 s =Ass－1 2A1．
設A為n階方陣 ,如果 AA(A),即ai)(i,) ,那么
稱A為對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．兩個同階對稱矩陣 (i反對稱a矩a陣)i的和a還是對稱矩陣(n反對稱矩陣 ),對稱矩陣 (反對稱矩陣 )與數的乘積也是對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．但是 ,兩個對稱矩陣 (反對稱矩陣 )的乘積不一定是對稱矩陣 (反對稱矩陣 )．
= A=－j= i(j=－j=2,.,
6．共軛矩陣定義9 設A= (a其中 a為複數 ,a表示 a的共軛複數 ,= (.i)為
i)m×n,若.i則稱矩陣 Aa
ii
jjjj j
矩陣 A的共軛矩陣．
共軛矩陣的性質 :
(1)A=
A；
(2)k= A(
(3)A+
B=A+B；
(4)AB=
AB；
(5)(A)T=AT,(AB)T= (B)T (A)T．
A kk是複數 )；
(三)矩陣分塊法
1．矩陣的分塊
在處理階數較高的矩陣運算時 ,常採用分塊法使大矩陣的運算化成小矩陣的運算．我們將矩陣 A用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣 ,每一個小矩陣稱為 A的子塊 ,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣．注意分割線的縱橫線必須分割到底．
考慮矩陣分塊的原則是使分塊後的子矩陣中有便於利用的特殊矩陣 ,如單位矩陣、零矩陣、對角矩陣、三角矩陣等．如果把分塊矩陣的每一子塊當成矩陣的一個元素 ,可以按矩陣的運算法則建立分塊矩陣對應的運算法則 ,下面討論分塊矩陣的運算．
2．分塊運算
(1)分塊加法 設矩陣 A,採用相同的分塊法 ,
B是同型矩陣 , 有 。 .
B1r
A11 。
B11 。 。 ÷ ÷÷÷ ÷÷
As1 。 .è
Bs1 。 .è 。 。 . ， B=
A= ，.
As
r 。
Bs
r 。
A11+B11 . A1r+B1r 。 。 。 .
÷ ÷÷
As1+Bs1 。 .è
其中Ai與Bi是同型矩陣,則A+B=
jj
． 。
Asr+Bs
r 。 。 .
kA1r
A11 。
A1r
kA11 。 。 . .è
(；)i=1,s2,.,．
2,.,j=1,r
÷ ÷÷÷ ÷÷
As1 。 .è
(2)分塊數乘 設分塊矩陣A= 。 . 。 .
k為常數,則k ，A=
． 。 .
kAr
s
As
r
kAs1 。
(3
