網(數學概念)

有向集映到集合的映射。

基本介紹

• 中文名：網
• 外文名：net
• 所屬學科：集合論

定義

集合上的一個網是指映射其中是一個有向集，通常寫作, 或簡寫作。

示例

1. 賦予自然數集通常意義上的大小關係,則其成為一個有向集，則上的數列 是網.
2. 考慮拓撲空間中點的所有鄰域構成的集合,賦予其反向包含關係（若且唯若），則成為有向集. 對於每一個,取,則是上的一個網.

拓展

若是的一個子集，如果存在使得當時有,則稱網流向；如果對每一個都存在使得,則稱網掛在上.

是網的一個收斂點是指對的每一個鄰域，都有網流向,記作

是網的一個聚點是指對的每一個鄰域，都有網掛在上（注意與拓撲空間中的聚點區分）.

套用

命題1. 為一拓撲空間，是的一個子集，是中一點，則是的一個聚點若且唯若存在一個上的網（可看作上的網）收斂於.若且唯若存在一個上的網收斂於.

證明：略.

命題2. ,為拓撲空間,映射在點處連續若且唯若對任意收斂於的網有收斂於

證明：略.

命題3. 為一拓撲空間，則下列陳述等價：

a. 是緊的.

b. 任意上的網都有一個聚點.

c. 任意上的網都有一個收斂的子網.

證明：略.