經典伴隨變換

經典伴隨變換(classical adjoint transformation)是向量空間中的一種線性變換。在線性代數中，一個方形矩陣的伴隨矩陣是一個類似於逆矩陣的概念。如果矩陣可逆，那么它的逆矩陣和它的伴隨矩陣之間只差一個係數。然而，伴隨矩陣對不可逆的矩陣也有定義，並且不需要用到除法。

基本介紹

• 中文名：經典伴隨變換
• 外文名：classical adjoint transformation
• 屬性：線性變換
• 學科：線性代數

定義

參見：子式和餘子式、余因子矩陣和轉置矩陣

設R是一個交換環，A是一個以R中元素為係數的n×n的矩陣。A的伴隨矩陣可按如下步驟定義：

• 定義：A關於第i行第j列的餘子式（記作M_ij）是去掉A的第i行第j列之後得到的(n− 1)×(n− 1)矩陣的行列式。
  
• 定義：A關於第i行第j列的代數餘子式是：
  
• 定義：A的餘子矩陣是一個n×n的矩陣C，使得其第i行第j列的元素是A關於第i行第j列的代數餘子式。
  

引入以上的概念後，可以定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的餘子矩陣的轉置矩陣：

也就是說，A的伴隨矩陣是一個n×n的矩陣（記作adj(A)），使得其第i行第j列的元素是A關於第j行第i列的代數餘子式：

例子

2x2矩陣

一個 矩陣 的伴隨矩陣是

3x3矩陣

對於 的矩陣，情況稍微複雜一點：

其伴隨矩陣是：

其中

要注意伴隨矩陣是餘子矩陣的轉置，第3行第2列的係數應該是A關於第2行第3列的代數餘子式。

具體情況

對於數值矩陣，例如求矩陣

的伴隨矩陣 ，只需將數值代入上節得到的表達式中。例如第2行第3列的代數餘子式為

因此伴隨矩陣中第3行第2列的位置上是-6。

計算後的結果是：

套用

作為拉普拉斯公式的推論，關於n×n矩陣A的行列式，有：

其中I是n階的單位矩陣。事實上，Aadj(A)的第i行第i列的係數是

。根據拉普拉斯公式，等於A的行列式。

如果i≠j，那么Aadj(A)的第i行第j列的係數是

。拉普拉斯公式說明這個和等於0（實際上相當於把A的第j行元素換成第i行元素後求行列式。由於有兩行相同，行列式為0）。

由這個公式可以推出一個重要結論：交換環R上的矩陣A可逆若且唯若其行列式在環R中可逆。

這是因為如果A可逆，那么

，

如果det(A)是環中的可逆元那么公式（*）表明

性質

對n×n的矩陣A和B，有：

當n>2時，

如果A可逆，那么

如果A是對稱矩陣，那么其伴隨矩陣也是對稱矩陣；如果A是反對稱矩陣，那么當n為偶數時，A的伴隨矩陣也是反對稱矩陣，n為奇數時則是對稱矩陣。

如果A是（半）正定矩陣，那么其伴隨矩陣也是（半）正定矩陣。

如果矩陣A和B相似，那么和也相似。

如果n>2，那么非零矩陣A是正交矩陣若且唯若

伴隨矩陣的秩

當矩陣A可逆時，它的伴隨矩陣也可逆，因此兩者的秩一樣，都是n。當矩陣A不可逆時，A的伴隨矩陣的秩通常並不與A相同。當A的秩為n-1時，其伴隨矩陣的秩為1，當A的秩小於n-1時，其伴隨矩陣為零矩陣。

伴隨矩陣的特徵值

設矩陣A在復域中的特徵值為(即為特徵多項式的n個根），則A的伴隨矩陣的特徵值為。

伴隨矩陣和特徵多項式

設p(t) = det(A−tI) 為A的特徵多項式，定義，那么：

其中是p(t)的各項係數：

伴隨矩陣也在行列式的導數形式中。