組合龐特里亞金類

組合龐特里亞金類（combinatorial Pontriaginclass）是龐特里亞金類的有理多項式。以前的龐特里亞金類，其定義要依賴於纖維叢的微分結構。因此組合定義是一個進步。

基本介紹

• 中文名：組合龐特里亞金類
• 外文名：combinatorial Pontriaginclass
• 適用範圍：數理科學

簡介

組合龐特里亞金類是龐特里亞金類的有理多項式。

設Kⁿ是n維緊有理同調流形，∑^r是標準r+1維單形的邊緣。當f:Kⁿ→∑^r是分片線性映射，且n-r=4i，對幾乎全體y∈∑^r，f^-1(y)是一個4i維緊有理同調流形，給定了Kⁿ的定向，則f^-1(y)有一個誘導定向，其符號差σ(f^-1(y))與y無關，記為σ(f)。於是對4i<(n-1)/2，存在一個且僅有上同調類l_i∈H⁴ⁱ(Kⁿ;Q)，滿足

其中f:Kⁿ→∑^n-4i。

當K是Mⁿ的剖分時，類l_i(Mⁿ)等於Mⁿ的切叢的希策布魯赫類L_i(p₁,p₂,...,p_i)。由於在(p₁,p₂,...,p_i)中p_i的係數不為零，故由等式l_i=L_i(p₁,p₂,...,p_i)中遞推的解出龐特里亞金類p_i為l₁,l₂,...,l_i的有理多項式。例如

等。上述的作法在組合流形上可行，因此，這樣的p類p_i稱為組合龐特里亞金類。

意義

以前的龐特里亞金類，其定義要依賴於纖維叢的微分結構。因此組合定義是一個進步。已經證明，龐特里亞金類不是拓撲不變數，而有理係數則是拓撲不變數。

龐特里亞金類

龐特里亞金類有一些類似於斯蒂弗爾-惠特尼類與陳類的幾何與拓撲性質。

此外，由於複數與四元數之間的密切關係，還存在一些陳類與龐類之間的關係，但是米爾諾(Milnor, J. W.)證明，龐特里亞金類不是拓撲不變數。