組合總數

組合總數(total number of combinations)是一個正整數，指從n個不同元素里每次取出0個，1個，2個，…，n個不同元素的所有組合數的總和，即C^º_n+C¹_n+C²_n+…+Cⁿ_n=2ⁿ，n元集合的組合總數是它的子集的個數。從n個不同元素中每次取出m個不同元素而形成的組合數的性質是：1.C^m_n=C^n-m_n；2.C^m_n+1=C^m_n+C^m-1_n (m≤n)。利用這兩個性質，可化簡組合數的計算及證明與組合數有關的問題。

基本介紹

• 中文名：組合總數
• 外文名：total number of combinations
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：排列組合

基本介紹

從m個不同元素中，任取出n個成一組，稱為一個組合。這樣得到的不同組合的總數記作 ，例如，從四個元素a、b、c、d中每次取三個，得到 個不同組合，即abc，abd，acd，bcd。

假定有n個相異元素，從其中任取1個或數個，總共有 種選法。另一方面，如果依次考慮每個元素，則都有“取”與“不取”2種處理方法，依照乘法定理，總共有2×2×...×2=2ⁿ種處理方法，其中有一種處理方法是n個元素都不取，這個方法不合題意，如果捨去，總共有2ⁿ－1種選法。 因此，我們得到：

這個公式稱為組合總數公式。如果不捨去n個元素都不取的情況，總共有2ⁿ種選法：

一般，如果有n種不同的元素，第一種元素有m₁個，第二種元素有m₂個，....第 n種元素有m_n個，則從這些元素中任取若干個的組合總數為

如果每種元素都只有一個，即m₁=m₂ =....=m_n=1,則上式等於2ⁿ－1，就是n個相異元素的組合總數。

例題解析

【例1】某同志身上有二元、一元、五角、一角、五分、二分、一分人民幣各一張，用這些人民幣能夠付多少種不同的款額?

分析 從這7張不同人民幣中任意取出一張或幾張， 就可以付一種款額，而且不同的取法所得到的款額也不同，所以總共可付

種不同的款額。

【例2】一條電路由n個開關組成， 每個開關有“通”與“不通”兩種狀態，試問整個電路有多少種不同狀態?

分析 依次考慮n個開關，每個開關都有“通”與“不通”兩種狀態，所以整個電路有2”種不同狀態。在本例中，n個開關都不通也是一種狀態，不需要減去。

組合總數問題的分析方法是很重要的，以下我們把它推廣到更加一般的形式:

【例3】書店有相同的英文書3本、相同的俄文書2本、日文書1本，某同志想從這些書中選購若干本，可以有多少種選法?

分析 本題6本書不全是相異的，不能套用上面的公式。 但是我們可以仿照組合總數問題的分析方法，一個文種一個文種地考慮:

先考慮英文書, 可以有4種處理方法:買1本、 買2本、 買3本、買0本( 1本都不買) ;再考慮俄文書，可以有3種處理方法: 買1本、買2本、買0本;最後考慮日文書， 有2種處理方法: 買1本、買0本; 所以，這三種書總共有4×3×2 =24種處理方法，從其中減去“全都不買”一種處理方法，則至少選購一本的方法數有4×3x2－1=23種。

【例4】求720總共有多少個因數?

分析 先把720分解為素因數的乘積:

720共有7個素因數，其中有4個2、 2個3、 1個5， 從這些素因數中任取若干個相乘， 就得到720的一個因數。先考慮素因數2，可取0次、 1次、2次、 3次或4次冪，有4+1=5種處理方法；再考慮素因數3，可取0次、 1次或2次，有2+1=3種處理方法；再考慮素因數5， 可取0次或1次，有1+1=2種處理方法，總共有

種處理方法。如果每個素因數都取0次冪，則所得的積為1，,它也是720的一個因數，這種處理方法不必減去。故720共有30個因數。

一般,設正整數n的素因數分解式為