《組合模型理論中若干組合結構的研究》是依託上海交通大學，由馬俊擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：組合模型理論中若干組合結構的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：馬俊
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
組合模型理論是計數組合學的一個重要分支, 能夠以某種統一的步驟處理和解決許多不同類型的問題. 本項目研究將主要圍繞組合模型理論中若干組合結構(如泊車函式、Abelian沙堆模型等)展開, 利用圖的減邊-縮邊運算, 研究無向圖和有向圖上泊車函式, 在泊車函式上定義出新的參數, 揭示泊車函式與Tutte多項式的聯繫; 利用子圖剖分和一一對應相結合的方法, 研究無向圖和有向圖上泊車函式新定義的參數與圖的子圖連通分支間的關係; 研究TG(-1,1)的組合意義; 研究無向圖上Abelian沙堆模型回歸構型和可允許構型凸包的幾何性質;研究與圖上泊車函式對應的其他組合模型及組合序列的性質.
結題摘要
本項目圍繞組合學中的Tutte多項式，及組合學中一些重要組合結構的序列展開研究，相關研究工作均取得一些進展。具體地，我們在非奇異M-矩陣A上提出(A,r)-泊車函式的概念, 並證明了(A,r)-泊車函式的集合與r的取法無關。我們提出Proper Tutte映射的概念, 給出Tutte多項式更為系統一般的組合解釋. 對於任何一般的無向圖, 我們都得到Tutte多項式T(G;1,-1)的組合解釋; 我們也得到T(Kn;1,-1)的組合解釋; 我們提出極小泊車函式的定義, 並研究各種極小泊車函式的參數量；在弱連通Eulerian有向圖上, 固定頂點v，我們定義出與v有關的sink和source多項式, 證明了定義出的多項式在sink和source下是相等的，並與v的取法無關，從而定義出的多項式深刻反映的圖的本質屬性; 對任何一個n元置換\pi, 我們在置換上定義了一個新的參數:cdes(\pi). 我們發現了和這個參數有關的許多有意思的公式, 並給出這些公式的代數和組合證明; 更有意思的是, 這個參數也和Callan完美匹配能夠產生某種相同的遞迴關係, 我們也給出相應關係的組合證明. 我們研究了與Eulerian多項式有關的幾個多項式的陳氏文法描述, 作為主要結果的套用, 我們獲得了這幾個多項式的卷積公式； 我們首先給出某種S-逆序序列與帶mark排列之間的一一對應, 進而給出帶mark排列與k-斯特林排列之間一一對應, 並得到相應參數之間的關係；我們重點研究2-斯特林排列上ascent-plateau多項式是gamma-正的, 得到對應的係數的組合解釋, 並構造相應的Foata群作用; 我們找到Legendre-Stirling集劃分上的一個編碼, 進而得到Legendre-Stirling數與二項式係數之間的一個關係；我們得到Eulerian多項式等的gamma正性; 得到Stirling排列等上多項式的partial gamma正性；得到n-元對稱群等上的雙gamma-正性；我們證明了任何具有gamma-正性的多項式都有一個David-Barton型等式，提出semi-gamma正性概念，gamma正性是semi-gamma正性的充分條件, 證明Alternating run多項式具有semi-gamma正性，但是不具有gamma正性.
