灰色組合模型

灰色組合模型是將灰色系統模型或灰色信息處理技術融入傳統模型後得到的有機組合體。在這個組合體中，若能直接分解出灰色系統模型，則稱這種組合體為顯性灰色組合模型，者不能直接分解出灰色系統模型，則稱這種組合體為隱性灰色組合模型。

顯性灰色組合模型最常見的有：

（1）灰色周期外延組合模型[即均值GM(1,1)模型與周期外延模型相融合]；

（2）灰色時序模型[即均值GM(1,1)模型與時序模型相融合]；

（3）灰色人工神經網路模型[即均值GM(1,1)模型與人工神經網路模型相融合]；

（4）灰色線性回歸模型[即均值 GM(1,1)模型與線性回歸模型相融合]等。

隱性灰色組合模型最常見的有：

（1）灰色經濟計量學模型[即灰色關聯分析模型和均值GM(1,1)模型等融入計量經濟學模型]；

（2）灰色生產函式模型[即均值GM(1,1)融入生產函式模型]等。

上述兩種組合模型稱為第一類灰色組合模型。對於灰色信息處理技術融入其他一般模型後得到的有機組合體，稱為第二類灰色組合模型。第二類組合模型主要有：（1）灰色馬爾可夫模型(即灰色轉移機率矩陣或灰色狀態與馬爾可夫模型相融合)；（2）灰色粗糙組合模型(即灰色聚類與優勢粗糙集相結合構建的模型)等幾種形式。

基本介紹

• 中文名：灰色組合模型
• 外文名：Grey Combination Model
• 所屬學科：灰色系統理論

定義

1.灰色經濟計量學模型

經濟計量學模型有一元線性回歸模型、多元線性回歸模型、非線性模型、滯後變數模型、聯立方程模型等多種形式。

建立與套用灰色經濟計量學模型的步驟如下。

第一步：理論模型設計，對所研究的經濟活動進行深入分析。根據研究目的，選擇進人模型的變數，並根據經濟行為理論或經驗以及樣本數據所呈現出的變數間的頭系，建立描述這些變數之間關係的數學表達式，即理論模型。

這個階段是建立模型最重要也是最困難的階段，需要做以下工作：

（1）研究有關經濟理論；

（2）確定模型所包含的變數及函式形式；

（3）統計數據的收集與整理。

第二步：建立GM（1，1）並獲得模擬值。為了消除模型各變數觀測數據的隨機波動或誤差，採用各變數的觀測數據分別建立GM（1,1），然後運用變數的GM（1,1）模擬值作為建立模型的基礎序列。

第三步：參數估計。經濟計量學模型設計之後，就要估計參數。參數是模型中表示變數之間數量關係的常係數。它將各種變數連線在模型中，具體說明解釋變數對因變數的影響程度。在未經實際資料估計之前，參數時是未知的。模型設定後，應根據由GM（1,1）模擬得到的模擬序列，選擇適當的方法，求出模型參數的估計值。參數一經確定，模型中各變數之間的相互關係就確定了，模型也就隨之而定。這時得到的模型為灰色經濟計量學模型。

第四步：模型檢驗。參數估計之後，模型便已確定。但模型是否符合實際，能否解釋實際經濟過程，還需要進行檢驗。檢驗分兩方面，即經濟意義檢驗和統計檢驗。經濟意義檢驗主要是檢驗各個參數值是否與經濟理論和實際經驗相符。統計檢驗則是利用統計推斷的原理，對參數估計的可靠程度、數據序列的擬合效果、各種經濟計量假設的合理性及模型總體結構預測功能進行檢驗。模型通過上述各項檢驗，才能實際套用。如果檢驗未通過，則需修正模型。

第五步：模型套用。灰色經濟計量模型主要套用於分析經濟結構、評價政策決策、仿真經濟系統及預測經濟發展這幾個方面。模型的套用過程，也是檢驗模型和理論的過程。如果預測誤差小，表明模型精度高，質量好，對現實解釋能力強，理論符合實際；反之就要對模型及對建模所依據的經濟理論進行修正。

灰色計量經濟學組合模型不僅可用於系統結構已知的情形，還特別適用於系統結構有待於進一步研究、探討的情形。

2.灰色生產函式模型

定義1：設K為資金投入,L為勞動力投入, Y為產出，稱為C-D生產函式模型。其中, α為資金彈性, β為勞動力彈性, γ為技術進步係數。

定義2：稱為生產函式模型的對數線性形式。

給定產出Y，資金K和勞動力L的時間序列數據,,,用多元最小二乘回歸可以估計出參數。而當Y，K，L為某一部門、地區或企業的時間序列數據時, 常常由於數據波動而導致參數估計誤差, 甚至得出明顯錯誤的結果。例如, 技術進步係數γ過小或為負值, 彈性α,β的估計值亦超出了其合理的取值界限。

在此情形下, 可以考慮採用Y，K，L的 GM（1,1）模擬值作為最小二乘回歸的原始數據, 能夠在一定程度上消除隨機波動, 使得估計出的參數更為合理, 得到的模型也能更為確切地反映產出與資金、勞動力和技術進步的關係。

定義3：設,,分別為Y，K，L的GM（1,1）模擬序列,則稱為灰色生產函式模型。

灰色生產函式模型中不顯含灰參數,它是將灰色系統模型融入C-D生產函式模型後得到的組合體, 具有十分深刻的“灰色”內涵, 體現了“解的非唯一性原理”和“灰性不滅原理”，因而套用於實踐往往會收到滿意的效果。

3.灰色線性回歸組合模型

灰色線性回歸組合模型彌補了原線性回歸模型不能描述指數增長趨勢和GM（1,1）模型不能描述變數間的線性關係的不足，因此該組合模型更適用於既有線性趨勢又有指數增長趨勢的序列。

定義1：設序列

的1-AGO序列為

其中, 。則稱

（3.1）

為灰色線性回歸組合模型。其中v及C₁、C₂、C₃為待定參數。

在GM（1,1）時間回響式(3.2) 中

（3.2）

取, 有

（3.3）

在式（3.3）中增加一個的k線性項即得式（3.1）

事實上, 灰色線性回歸組合模型是用線性回歸方程及指數方程的和來擬合的1-AGO序列 。

引理1：設序列

的1-AGO序列為

其中, 。

則灰色線性回歸組合模型(3.1)中的參數的估計值可以由如下的式（3.4）得到

（3.4）

定理1：設序列

的1-AGO序列為

其中, 。

令，則有灰色線性回歸組合摸型(3.1)的矩陣形式

（3.5）

和參數向量估計的矩陣形式

（3.6）

由此可得的模擬值或預測值如下：

（3.7）

顯然，當C₁=0時，式 (3.7) 為一元線性回歸模型；當C₂=0時，式（3.7）為GM（1,1）模型；當C₁≠0，C₂≠0時, 式(3.7)為既包含指數增長趨勢, 又包含線性項的灰色線性回歸組合模型。

對式(3.7)進行一次累減還原即可得到原序列的模擬值或預測值。

4.灰色—周期外延組合模型

對於既有總體變化趨勢又有周期波動的數據序列, 單純運用灰色系統模型不能反映周期波動的特點,而單純運用周期外延模型又不能反映總體的變化趨勢。將二者有機結合而形成的灰色-周期外延組合模型解決了這一問題。灰色系統的GM（1,1）模型能夠很好地反映序列的總體趨勢, 所以可首先建立序列的GM（1,1）模型, 然後對殘差序列建立周期外延模型, 作為灰色GM（1,1）模型的殘差補償, 這就是灰色-周期外延組合模型的建模思想。

設系統行為序列為, 其中≥0,k=1,2,...,n，灰色-周期外延組合模型建模步驟如下。

第一步: 建立該序列的GM(1,1)模型為

第二步：求殘差序列,

第三步：建立殘差序列的周期外延模型。具體步驟如下。

（1）計算序列 的均值。計算公式為1≤m≤M

其中, n為序列長度，為小於的最大整數，為小於的最大整數。可得均值函式矩陣:

對均值函式作周期性延拓, 即令

這裡mod表示同餘, 稱作均值函式的延拓函式。

（2）提取優勢周期。目前有如下兩種方法:

第一種依據方差分析基本原理, 可用下式來檢驗序列是否隱含長度為的周期:

上式為服從自由度（）的F分布。其中,

對於事先給定的置信水平α, 若, 則認為隱含長度為m的優勢周期。

第二種為先確定長度為m的優勢周期, 只需取，2≤m≤M

（3）序列減去周期m所對應的延拓函式構成一新序列, 即

再對新序列重複(2)和(3)，可以進一步提取其他優勢周期。

（4）疊加。將不同周期同一時刻取值的疊加值記為f(k):

上式為周期疊加外推法建立的周期外延模型。可將近似地取為f(k)。

第四步: 將與f(k)組合作為序列的擬合:

即得灰色-周期外延組合模型。

5.灰色馬爾可夫模型

5.1灰色狀態馬爾可夫模型

設原始數據為符合馬爾可夫鏈特點的非平穩隨機序列，將的取值劃分為s個不同的狀態，任一狀態表達為

其中，a_i,b_i為根據狀態劃分需要設定的常數。

按照灰色狀態馬爾可夫預測方法可以預測下一期最可能出現的狀態，具體步驟如下。

第一步：劃分預測對象（系統）所出現的狀態。設為

從預測目的出發，並考慮決策者的需要適當確定常數a_i,b_i，劃分系統所處的狀態。

第二步：計算初始機率。

在實際問題中，分析歷史資料所得的狀態機率稱為初始機率。

設有s個狀態，在觀測記錄的M期中，狀態出現了M_i次。於是

就是出現的頻率，我們用它近似地表示出現的機率。即。本質上也是灰數。

第三步：計算狀態轉移機率。

仍然以頻率近似地表示機率進行計算。首先計算狀態，（由轉移到）的一步轉移頻率

從第二步知道出現了M_i次，接著從M_i個出發，計算下一步轉移到的個數M_ij，於是得到

並令。

類似地，可以得到m步狀態轉移機率的近似值

其中，為從M_i個出發，經過m步轉移到的個數。

第四步：根據轉移機率進行預測。

由第三步可得狀態轉移機率矩陣P。如果目前預測對象處於狀態，這時p_ij就描述了目前狀態在未來將轉向狀態的可能性。按最大機率準則，我們選擇中最大者對應的狀態為預測結果。即當

時，可以預測下一步系統將轉向狀態。

當矩陣P中第i行轉移機率的最大值難以確定時（即第k行有兩個或兩個以上相同或十分接近的最大值），可以進一步考察二步或n步轉移機率矩陣或（n≥3）。

5.2灰色轉移機率馬爾可夫模型

定義1轉移機率為灰元的馬爾可夫鏈稱為灰色馬爾可夫鏈。

在實際問題中，由於缺乏信息，常常難以確定轉移機率的確切數值，只能根據已有信息給出轉移機率可能取值的灰區間。當轉移機率矩陣為灰矩陣時，一般要求其白化矩陣。

中的元素滿足：

（1）≥0,；

（2）。

命題1 設有限狀態灰色馬爾可夫鏈的初始分布為

轉移機率矩陣為

則下一期的系統分布為

第二期的系統分布為

第s期的系統分布為

由命題得，在系統初始分布和轉移機率矩陣已知時，可對下一期、第二期及未來任一時期的系統分布進行預測。

根據實際情況，也可以先對灰色馬爾可夫鏈的轉移機率矩陣進行白化，然後直接求出各期系統分布的白化向量。

6.灰色人工神經網路模型

灰色BP網路建模步驟如下：

設有時間序列，利用GM(1,1)模型

可得模擬值

第一步：建立殘差序列的BP網路模型。

若預測階數為S，即用 的信息預測時刻i的值，可以將作為BP網路訓練的輸入樣本，將 的值作為BP 網路訓練的預測期望值（導師值）。採用上述 BP 算法，對足夠多的殘差序列進行訓練，由不同的輸入向量得到相應的輸出值（經實踐檢驗值）。這樣神經網路的權係數值、閾值等，便是網路經過自適應學習所得的訓練值；訓練好的BP網路模型可以作為殘差序列預測的有效工具。

第二步：確定的新預測值。

設由BP網路訓練模型預測出的殘差序列為，在此基礎上構造新的預測值

則就是灰色人工神經網路組合模型的預測值。

7.灰色聚類與優勢粗糙集組合模型

灰色系統理論與粗糙集理論是用於處理不確定和不完備信息的兩種不同的數學工具，它們有一定的相關性和互補性。灰色系統理論通過序列運算元的作用從不確定性數據中挖掘有價值的信息，而粗糙集是通過數據離散降低數據表示的精度而發現不確定性數據中隱含的模式；灰色系統理論與粗糙集理論均不需要先驗知識，如機率分布或隸屬度信息等；粗糙集理論研究的是粗糙非交疊的類別及粗糙概念，側重於研究對象間的不可分辨性，灰色系統理論研究的是“外延明確，內涵不明確”的貧信息不確定性問題。綜合運用粗糙集理論和灰色系統理論的思想方法，能夠提高處理不確定性信息的效率。

構建灰色定權聚類與優勢粗糙集組合模型的步驟如下：

第一步：由給定的偏好條件屬性（指標）值建立一個知識表示系統；

第二步：根據實際問題劃分決策評價順序灰數s；

第三步：根據各指標取值域確定各指標可能度函式，j指標關於灰度k的可能度函式，記為

(●)；

第四步：確定各指標的聚類權重；

第五步：由對象i關於指標j的觀測值，計算出灰色定權聚類係數

第六步：綜合得到聚類係數向量

第七步：根據聚類係數矩陣，確定對象所屬灰類，若，則判定對象i屬於灰類k*；

第八步：由偏好條件屬性和偏好決策灰類建立決策表；

第九步：運用優勢粗糙集方法進行決策分析。

8.自憶性灰色預測模型

自憶性灰色預測模型是一種組合模型。對於具有非線性特徵的飽和增長或單峰特性的原始波動序列，可以建立自憶性GM(1,1)冪模型。設系統行為序列為，自憶性GM(1,1)冪模型的建模步驟如下所示。

第一步：確定自憶性動力方程。

將GM(1,1)冪模型所內含的白化微分方程，確定為自憶性GM(1,1)冪模型的自憶性動力方程。

其中，x為變數，t為時間，動力核。自憶性動力方程表達了變數x局部時間變化與動力核源函式之間的關係。

第二步：最佳化冪指數γ。

求解非線性規劃模型：,可得最優冪指數。

第三步：推導自憶性差分—積分方程。

設時間集合，其中表示歷史觀測時點，t₀表示基點，t表示未來預測時點，p表示回溯的項數。假設時點樣本間隔為△t。假設記憶函式β(t)，滿足|β(t)|≤1，且變數x與記憶函式β(t)滿足連續、可微且可積的條件，則自憶性動力方程可藉助內積運算變換為

該式可以視為以β(t)為權重的加權積分，經過分部積分及積分中值定理，可得如下差分—積分方程：

其中，，中值，，。

此即自憶性預測模型。

令，上述積分方程可變換為

該自憶性差分—積分方程回溯p階，自憶項S₁表征p+1個時點的歷史統計數據對預測值x_t產生的影響，S₂則表征動力核源函式在回溯時段內對x_t的影響。

第四步：離散化自憶性預測方程。

在上式中，以求和近似替代積分，微分近似為差分，中值則近似為兩相鄰時點均值，即，同時取等距時點間隔，令，可得離散形式的自憶性預測方程：

其中，記憶係數，動力核源函式。

第五步：最小二乘求解記憶係數。

視為系統的輸入，x_t視為系統的輸出，假設有個時點的原始數據序列，可用最小二乘法來求解記憶係數α_i和θ_i。記

則離散形式下的自憶性預測方程可表示成矩陣形式。若令，則上式變為，從而得到記憶係數矩陣的最小二乘估計。

第六步：求解自憶性GM(1,1)冪模型。

將由上一步確定的記憶係數α_i和θ_i代入自憶性離散預測方程，即可得到相應的模擬值。而自憶性GM(1,1)冪模型的原始數據模擬序列，可進一步通過一階累減還原得到，其中。