策略集合

策略是局中人在對策中採用的一個可行的自始至終通盤籌劃的行動方案，局中人策略的全體稱為策略集合，它可以是有限集，也可以是無限集。

基本介紹

• 中文名：策略集合
• 外文名：strategy set
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：運籌學(對策論)
• 相關概念：對策問題，局中人，策略等

基本概念

策略是對策問題的基本要素之一。在一局對策中，每個局中人都有供他選擇的並且是指導他自始至終如何行動的一個方案。局中人這個可行的通盤籌劃的行動方案，就稱為局中人的一個策略。在一局對策中，把局中人的策略全體，稱為這個局中人的策略集合。

例如在下面齊王和田忌賽馬的例子中，三匹馬排列的一個次序就是一個完整的行動方案，被稱為一個策略。如(上、中、下)表示上等馬先賽，其次是中等馬，最後比賽的是下等馬。顯然，每個局中人有6個策略：①(上、中、下)；②(上、下、中)；③(中、上、下)；④(中、下、上)；⑤(下、中、上)；⑥(下、上、中)。這些策略的全體就是局中人的策略集合。如果在一局對策中，每個局中人的策略集是有限的，那么這個對策稱為有限對策。否則，稱為無限對策。例1的對策就是一個有限對策。

對策現象的三要素

為了能具體地理解對策論的本質和概念，介紹下面一個例子。

例1(齊王和田忌賽馬) 戰國時期，齊國的國王與國內一個名叫田忌的大將進行賽馬。雙方約定，各自出三匹馬，分別為三個等級，即上等馬、中等馬、下等馬。比賽時，每次雙方各從自己的三匹馬中任選一匹來比，輸者要付給勝者一千兩黃金，一回賽三次，每匹馬都參加。

當時，三種不同等級的馬相差非常懸殊，而同等級的馬中，齊王的馬比田忌的馬要強。這樣，如果齊王和田忌都是按上、中、下等馬依次參賽的話，田忌就會輸掉三千兩黃金。這時，田忌的謀士給田忌出了個主意，讓田忌用下等馬去與齊王的上等馬比賽，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬。結果是齊王不但沒有贏，反而輸了一千兩黃金。

從這個例子以及形形色色的衝突或競爭現象中，可以抽象出對策現象的三要素。

局中人

在一場競爭中具有決策權的參加者稱為局中人。

在齊王和田忌賽馬的故事中，齊王和田忌就是局中人。局中人必須是具有決策權的人，而出謀獻策的人不能稱為局中人，在例1中，儘管田忌的謀士參與了賽馬這件事，但因其是通過田忌才能實現其決策，因此謀士不能稱為局中人，而田忌是局中人。

局中人除了可以理解為個人外，也可以理解為集體(如球隊、交戰國)，各種生物，甚至大自然。如生產鬥爭中，常常是人與大自然形成了對立面，那么人類是局中人，而大自然也被看成局中人。

只有兩個局中人的對策稱為二人對策，而多於兩個局中人的對策稱為多人對策。根據局中人之間是否允許合作來分，還有結盟對策和不結盟對策等。

策略

局中人在整個競爭過程中對付對手的一個辦法稱為這個局中人的一個策略。局中人一切可能的策略，組成該局中人的策略集合。策略不是某一步的行動方案，而是局中人的一個可行的、自始至終的、通盤籌劃的行動方案。

例如，在下象棋中，“當頭炮”只是某個策略的組成部分，並非一個策略。在齊王和田忌賽馬的例子中，三匹馬排列的一個次序就是一個完整的行動方案，被稱為一個策略。如(上、中、下)表示上等馬先賽，其次是中等馬，最後比賽的是下等馬。顯然，每個局中人有6個策略：①(上、中、下)；②(上、下、中)；③(中、上、下)；④(中、下、上)；⑤(下、中、上)；⑥(下、上、中)。這些策略的全體就是局中人的策略集合。如果在一局對策中，每個局中人的策略集是有限的，那么這個對策稱為有限對策。否則，稱為無限對策。例1的對策就是一個有限對策。

一局的得失

在對策中，每個局中人取定一個策略後組成的策略組，稱為一個局勢。每個局中人的得失是局勢的函式，稱為贏得函式或支付函式。

在例1中，當齊王選取策略(上、中、下)，而田忌選取策略(下、中、上)時，那么齊王的策略(上、中、下)與田忌的策略(下、中、上)構成的策略組((上、中、下)，(下、中、上))就是一個局勢。在這個局勢下，齊王的贏得是一千兩黃金，而田忌的贏得是負的一千兩黃金即損失是一千兩黃金。