等角多面體

等角多面體(equiangular polyhedron)是一種簡單多面體，指各多面角相等，且各面都是等角多邊形的多面體，這裡等角多邊形可能是正多邊形也可能是等角半正多邊形。例如，矩形是等角半正四邊形，長方體是等角多面體。

基本介紹

• 中文名：等角多面體
• 外文名：equiangular polyhedron
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 特點：所有的多面角都相等

基本介紹

等角多面體和等面多面體(isogons and isohedra)是這樣的凸多面體，它的所有多面角都相等(等角多面體)，或者所有面都相等(等面多面體)；一個等角多面體(等面多面體)繞其重心旋轉(連同反射)的群把每個頂點（面）對應到另一個頂點（面）。每個等面多面體都可這樣來實現，即使得它的所有面都是正多邊形。這樣得到的多面體稱為半正多面體(semiregular polyhedra)。

還有一種定義：假若多面體允許做一些對稱變換，隨便指定它的一頂，都能平移到另外任何的頂，就叫它做等角多面體；假若多面體允許做一些對稱變換，隨便指定的一面，都能平移到另外任何的面，就叫它做等面多面體。

等角半正多角形 等角半正多角形亦稱等角半正多邊形，是一種特殊的凸多邊形。邊數為偶數，相間的邊相等，且所有的角都相等的凸多角形稱為等角半正多角形。如圖1，在六邊形ABCDEF中，AB=CD=EF，BC=DE=FA，且∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，因而它是等角半正多角形。

圖1等角半正多邊形

相關分析

正多面體允許做一些對稱變換：隨便指定正多面體的一頂，能把它平移到另外任何頂。這就引起了下列的推論。

假若多面體允許做一些對稱變換，隨便指定它的一頂，都能平移到另外任何的頂，就叫它做等角多面體。因此這種多面體的任何兩個凸星形都相等，從而也同構，可見等角多面體屬於拓撲半正多面體。等角多面體的面永遠是等角半正多邊形，特別的可以是正多邊形。

正多面體是等角多面體的特別情形；其次可以證明等角半正多面體是等角多面體。從立方體用下面作圖法所得的多面體可以當做等角多面體的例子，它既不是正多面體，又不是等角半正多面體。

在立方體的所有棱上，從所有頂起，截取等長的線段（如圖2），再將由同一頂出發的各線段的端點連線起來。我們得到一個多面體，有八個正三角形和六個八邊形所包圍而成。在一般情形下，這些八邊形是等角半正多邊形，而多面體是等角的。在特別情形下，八邊形可以是正的，這時多面體便是等角半正的。

圖2

同樣還可以引入以下定義：

假若多面體允許做一些對稱變換，隨便指定的一面，都能平移到另外任何的面，就叫它做等面多面體。