在數學裡，等冪有兩種主要的定義。給定一二元運算，等冪元素是指乘上(或對一函式，複合它自己會等於它自己的元素。例如，乘法下唯一兩個等冪實數為0和1。
基本介紹
- 中文名：等冪
- 定義：複合它自己會等於它自己的元素
- 例如：乘法下唯一兩個等冪實數為0和1
- 一元運算：設f為一由X映射至X的一元運算
Idempotence,一元運算,環的等冪元素,其他例子,
Idempotence
一一元運算為等冪的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是等冪的。
二元運算
設S為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則S的元素s稱為等冪的(相對於*)當
:s * s = s.
特別的是，任一單位元都是等冪的。若S的所有元素都是等冪的話，則其二元運算*被稱做是等冪的。例如，聯集和交集的運算便都是等冪的。
一元運算
設f為一由X映射至X的一元運算，則f為等冪的，當對於所有在X內的x，
:f(f(x)) = f(x).
特別的是，恆等函式一定是等冪的，且任一常數函式也都是等冪的。
注意當考慮一由X至X的所有函式所組成的集合S時。在f在一元運算下為等冪的若且唯若在二元運算下，f相對於其複合函式複合運算(標記為o)會是等冪的。這可以寫成fof = f。
函式
如上述所說，恆等函式和常數函式總會是等冪的。較不當然的例子有實數或複數引數的絕對值函式，以及實數引數的高斯符號。
將一拓撲空間X內各子集U映射至U閉包的函式在X的冪集上是等冪的。這是閉包運算元的一個例子；所有個閉包運算元都會是等冪函式。
環的等冪元素
定義上，環的等冪元素為一相對於環乘法為等冪的元素。可以定義一於環等冪上的偏序：若e和f為等冪的，當ef = fe = e時，標記為e ≤ f。依其順序，0會是最小等冪元素，而1為最大等冪元素。
若e在環R內為等冪的，則eRe一樣會是個乘法單位元為e的環。
兩個等冪元素e和f被稱為正交的當ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是等冪的，且有e ; e + f和f ; e + f。
若e在環R內為等冪的，則f = 1 - e也會是等冪的，且e和f正交。
一在R內的等冪元素e稱為核心的，若對所有在R內的X，ex=xe。在此情形之下，Re會是個乘法單位元為e的環。R的核心等冪元素和R的分解為環的直和有很直接的關接。若R為環R1、...、Rn的直和，則環Ri的單位元在R內為核心等冪的，相互正交，且其總和為1。相反地，給出R內給相互正交且總和為1的核心等冪元素e1、...、en，則R會是環Re1、...、Ren的直和。所有較有趣的是，每一於R內的核心等冪e都會給出一R的分解－Re和R(1 - e)的直和。
任一不等於0和1的等冪元素都是零因子(因為e(1 - e) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種等冪元素。局部環也沒有此種等冪元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的等冪元素只有0。共四元數環內會有一等冪元素組成的懸鏈曲面。
所有元素都等冪的環稱做布爾環。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法逆元。
其他例子
等冪運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是等冪運算。
