基本介紹
- 中文名:第二型曲線積分
- 所屬學科:數學(微積分)
- 別名:關於坐標的曲線積分
- 簡介:一種與曲線定向有關的曲線積分
- 物理背景:變力沿曲線做功
第二型曲線積分的物理意義,第二型曲線積分的定義,第二型曲線積分的性質,第二型曲線積分的計算,
第二型曲線積分的物理意義
第二型曲線積分的物理背景是變力沿曲線做功。
空間中有一變力F(x,y,淚拘燥希z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))作用愉設希在某質點上,使其從某一曲線L的端點A,沿著L移動到另一端點B,求該力做功多少?
顯然在L上取一有喇她遷向弧微元ds=(dx,dy,dz),則可得做功微元dw=F·ds,那么力F移動質點從A到B所做的功為
,若用坐標表示,則成為
![](/img/0/9e1/wZ2NnLlVTY3EWZ1MmY1QDN3QDZlZTYldTN3EjZzATYiBDZldzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/7/de7/wZ2NnL4QmYjJTOmJmYzkjZ1gDMmZmYxADZkNmYxYGM3MmYxQ2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
第二型曲線積分的定義
定義1設函式P(x,y),Q(x,y)定義在平面有向可求長度曲線L上,對L的任意分割T,它把L分成n個紋戲趨淚祖小弧段:疊茅抹夜
在每個小曲線段上任取一點
,若極限
![](/img/f/73d/wZ2NnL5EGNlVDO0QGOlFzNwMWN0QWOidTYmF2NlZWZjRDOkV2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/0/b03/wZ2NnL2IjZ3cTM2MmN3UjYkRDNidDM1EWYhFzY1gDMhNGZjF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/f/eb1/wZ2NnLxgjN3QGNihTZ4UmYkRmY0QGZjhTM5MTNkFTOzYTZ3E2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/0/b03/wZ2NnL2IjZ3cTM2MmN3UjYkRDNidDM1EWYhFzY1gDMhNGZjF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/9/c13/wZ2NnLkZ2N4QGZ2gDMmZTZyQmM3EGN4AjN0gjNhVGM1gTN2Q2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/f/a3d/wZ2NnLmdDOwQGM2cDZxQmZ5YWN4czN0QjYyUWM3YDNxgDMjF2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
定義2 設L為空間內一條光滑有向曲線,函式P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在L上有定義,則可以定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分,並記為
![](/img/2/1ff/wZ2NnLiBDN5UjZhBDN4IjY4YWO1YjY3gDMzkTZlBzNjFDZ1YzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
第二型曲線積分的性質
(1)如果把L分成L1和L2,且
(i=l,2)都存在,則
![](/img/a/c0a/wZ2NnLzIDM3YWMxYGN3E2YmNmY2gzY2YmZlZWY5ATY5QDZ0I2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/d/dfe/wZ2NnLxIGZkljYzEWNkJ2Y5ATMhhjMmJGZzIjNxUDMzEDMhN2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
(2)設L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧,則
![](/img/2/da6/wZ2NnL2QjZ2QzMjRWM5IGZhRTMmNWN3IjN2UWMwkTOkJjY3AzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
(3)若
存在,則
也存在,且
![](/img/6/131/wZ2NnLzQzY2UmMyYTZ5U2NlJTNiRWZ0gjN2IzYyIzNkJ2YxUzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/2/5e2/wZ2NnLhZjMxEjY0EzY2ITM3UDOkJDZhNjM4czNwYGNhlDOhBzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/1/667/wZ2NnL4UGN0YmYhFGN0UmZiVGZ1kDZ1czYzUDO5IWNlJDOzMzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
第二型曲線積分的計算
轉化為定積分,要注意的是:二型線積分的起點,對應定積分的下限,終點對應定積分的上限,即若曲線
![](/img/4/cad/wZ2NnLihzYjZzY3QDOjF2M2ETY0ADZmNzNyAjZxQTZyIGNxU2LhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/a/27a/wZ2NnLmBzMldTYzU2N4cTNhNzN5kzY3MWM5MjZzEWOyIWY5UzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)
![](/img/0/384/wZ2NnLxYGZ3ETMzEDM4UWYwAjMyQjYmRWZjNDMxMWZmVWMhJzLhxWdtJ3bm9SbvNmLz9mYlNmYu4GZj5yZtl2ai9yL6MHc0RHa.jpg)