第二型曲線積分

第二型曲線積分

第二型曲線積分亦稱關於坐標的曲線積分,是一種與曲線定向有關的曲線積分,與第一型曲線積分相比,從物理意義上,可以看出兩種曲線積分是不同的,儘管它們都是沿著曲線的積分,但第一型的與方向無關,第二型的與方向有關。第二型曲線積分在向量場理論中還有許多套用。

基本介紹

  • 中文名:第二型曲線積分
  • 所屬學科:數學(微積分)
  • 別名:關於坐標的曲線積分
  • 簡介:一種與曲線定向有關的曲線積分
  • 物理背景:變力沿曲線做功
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第二型曲線積分的物理意義

第二型曲線積分的物理背景是變力沿曲線做功。
空間中有一變力F(x,y,淚拘燥希z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))作用愉設希在某質點上,使其從某一曲線L的端點A,沿著L移動到另一端點B,求該力做功多少?
顯然在L上取一有喇她遷向弧微元ds=(dx,dy,dz),則可得做功微元dw=F·ds,那么力F移動質點從A到B所做的功為
,若用坐標表示,則成為
這種類型的積分稱為第二型的曲線積分

第二型曲線積分的定義

定義1設函式P(x,y),Q(x,y)定義在平面有向可求長度曲線L上,對L的任意分割T,它把L分成n個紋戲趨淚祖小弧段:疊茅抹夜
在每個小曲線段上任取一點
,若極限
存在,且與分割T和點
的取法無關,其中||T||是各小弧迎船洪段長度的最大值,則稱此極限為函式P(x,y),Q(x,y)沿有向曲線L上的第二型曲線積分,記為
定義2 設L為空間內一條光滑有向曲線,函式P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在L上有定義,則可以定義沿空間有向曲線L上的第二型曲線積分,並記為

第二型曲線積分的性質

(1)如果把L分成L1和L2,且
(i=l,2)都存在,則
(2)設L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的有向曲線弧,則
(3)若
存在,則
也存在,且

第二型曲線積分的計算

轉化為定積分,要注意的是:二型線積分的起點,對應定積分的下限,終點對應定積分的上限,即若曲線

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