空間步長

空間步長，是指空間上兩個節點之間的垂直距離。與時間步長相似，在過程模擬中，模型將整個空間離散為N個細小的格線，每個格線可以視為屬性均一的單元，這個格線的邊長就是空間步長。在模擬區域過程時，一般需要設定空間步長，空間步長的大小一般取決於所在空間單元屬性的異質性和模擬目的。

基本介紹

• 中文名：空間步長
• 外文名：spatial lag
• 分類：物理學

時間和空間步長的選擇

其絕對值越大，計算時間越少；其絕對值越小，計算時間越長，模擬就越精細，過程越複雜。空間步長過大會概化重要的屬性信息，空間步長過小就會降低模擬效率。因此，在模擬時要選擇適宜的單元以滿足研究的需要。在數值模型中，時間和空間步長的選擇常需考慮數值計算的穩定性。

煤層瓦斯流動數值解算時空步長的選取

對套用有限差分法解算煤層瓦斯流動時，如何選取合適的時間步長和空間步長、如何根據煤層瓦斯壓力分布計算煤壁瓦斯湧出量等問題進行了分析和探討。用煤壁處節點與煤層內相鄰節點間的瓦斯壓力梯度來求煤壁瓦斯湧出量的方法誤差較大。根據煤層內各節點的瓦斯壓力值對瓦斯壓力進行擬合，用擬合曲線在煤壁處的斜率作為煤壁瓦斯壓力梯度計算瓦斯湧出量，能得到可靠精確的結果。通過考察選取不同時間步長和空間步長時煤壁瓦斯壓力梯度的變化，提出了選取合適的時間步長和空間步長的方法。

時間步長和空間步長的選取

在推導差分格式時對煤層瓦斯流動區域進行時空上的離散化，時間的離散化就是將連續的時間分割成相等或不相等的時段Δ_t，Δ_t就稱為時間步長；對計算區域進行等間距或不等間距格線劃分，格線節點之間的距離Δ_x就稱為空間步長。選取合適的時間步長和空間步長對有限差分法有重要意義，首先它能保證計算結果具有一定的精度，其次能減少計算機資源的浪費，提高效率。已論述了煤壁瓦斯壓力梯度的計算方法，現通過考察選取不同時空步長時煤壁瓦斯壓力梯度的變化，舉例說明時空步長的選取方法。

時間步長的選取

當空間步長取0.2m，取不同時間步長時煤層節點瓦斯壓力擬合曲線在煤壁處的斜率k₁及煤壁節點與煤層內相鄰節點間的壓力梯度k₂的變化。

可以看出，根據瓦斯壓力擬合曲線得到的在煤壁處的斜率k₁及煤壁節點與煤層內相鄰節點間的壓力梯度k₂之間的差別很大，所以用k₂計算煤壁瓦斯湧出 量會產生較大 的誤差，用k₁計算可以保證計算結果的可靠性。隨著時間步長的不斷減小，k₁、k₂的變化越來越小，那么計算結果就越精確。所以從理論上講，時間步長取得越小越好。在實際計算過程中，應根據計算結果對精度的要求，通過考察瓦斯壓力擬合曲線在煤壁處斜率k₁的變化來選取合適的時間步長，儘量選用較小的時間步長。

空間步長的選取

時間步長均取0.002d，取不同空間步長求出的煤層節點瓦斯壓力擬合曲線在煤壁處的斜率k₁及煤壁節點與煤層內相鄰節點間的壓力梯度k₂隨空間步長的變化。

可見，隨著空間步長的變化，k₁曲線變化比k₂曲線變化穩定可靠；當空間步長在0.2～0.6m之間時，k₁曲線變化比較小。可以認為空間步長從0.2～0.6m之間選取比較合適。

步長對一維非穩態導熱數值計算的影響

以一個一維非穩態導熱問題為例，研究了不同的步長和差分格式對計算結果的影響。研究表明：空間步長不能選得過大，否則會使得格線數較少，計算誤差增加；空間步長一定時，計算結果隨傅立 葉數變化而波動，且波動幅度 因空間步長的增加而 加劇；空間 步長較大時，從顯式格式、Crank-Nicolson格式到全隱格式的計算精確度逐漸變差。 另外，顯式格式計算結果的合理性較強依賴於傅立葉數的取值；Crank-Nicolson格式只在空間步長較大時，才顯示出這種依賴性；而全隱格式沒有此類問題。

顯式格式的計算結果及其說明

由於顯式差分格式的穩定性判據要求傅立葉數的取值應在一定範圍之內 (對於研究的情況，其值在0～0.5之間，見文獻)，所以橫坐標範圍取0.008～0.48。可以得出：

1、格線單元數較少時的計算結果隨傅立葉數變化的準確值附近有明顯的波動，且波動程度隨傅立葉數增加而加劇。此時在小傅立葉數區，波動相對較弱，但計算結果與格線單元數較多時有較大差距，如單元數為2、4和8時的情況。

2、格線單元數較多時的計算結果隨傅立葉數增加無太大波動，且此時各種單元數下的計算結果均十分接近，如單元數為16和32時的情況。

3、計算結果合理性對傅立葉數的依賴程度與格線單元數的多少有關，計算表明：隨著格線單元數的增加，計算結果的合理性對傅立葉數的限制越嚴格，越要求其值位於穩定性判據限定的範圍之內。當格線單元數為2和4時，即使傅立葉數達到0.58也未出現“反常”情況，即理論上最高溫度點處的溫度反而小於臨近節點處的溫度；而格線單元數分別為8、16和32時，則當傅立葉數分別達到0.544、0.510和0.504之後，即會出現上述“反常”現象。

造成上述結論的原因在於，時間步長Δ_τ與空間步長Δ_x平方的倒數和傅立葉數成正比。當格線單元數較少時，空間步長較大，使得在傅立葉數較大的區域裡時間步長太大，導致計算結果隨傅立葉數的變化有較明顯的波動。文獻 中的筆算結果 (單元數=2)之所以與單元數較多時的計算結果一致，是因為其傅立葉數取值 (Fo=1/3)恰巧位於兩個波動點 (0.328和0.352)之間，與程式計算出的傅立葉數為0.336時的結果十分接近。在小傅立葉數區，時間步長會因傅立葉數較小而減小，所以波動相對較弱。但是此時用空間二階差分代替數學模型中的空間二階微分時，仍會因空間步長較大造成較大誤差，從而與格線單元數較多時相比，計算結果有較大偏離。

全隱式和Crank-Nicolson的計算結果及說明

全隱式格式和Crank-Nicolson格式的計算結果可以看出：

1、與用顯式格式計算的結果相似，當格線單元數較少時，計算結果隨傅立葉數的變化也有明顯的波動，且波動程度隨傅立葉數的增加而增加。但與顯式格式不同的是，這兩種格式的波動是在大於準確值的一側，而非在其兩側波動。

2、當格線單元數較少時，以這兩種格式計算的結果都比用顯式格式計算的結果有較大誤差，其中以全隱式格式計算的結果的誤差更大些；當格線單元數較多時，這三種格式的計算結果基本一致。

3、計算表明：當用Crank-Nicolson格式計算時，計算結果的合理性仍會對傅立葉數的取值範圍有一定依賴性，且這種依賴程度與格線單元數多少有關。不過與顯式格式不同的是，此格式允許在更大範圍內對傅立葉數取值，且格線單元數很少時這種依賴性才有所體現。如當格線單元數為2和4時，傅立葉數分別達到3.52和13.28時，即出現所說的“反常”現象；而當格線單元數為8、16和32時，在傅立葉數為0.16至16的範圍內，都無這種“反常”現象發生。

4、用全隱式格式計算時，不管格線單元數為多少，計算結果都無“理論上最高溫度點處的溫度反而小於臨近節點處的溫度”的反常現象發生，即使傅立葉數達到16時也如此，這基本證實了文獻中的“全隱格式對時間步長沒有限制”的說法。