種域(genus field)是類域的一種重要的子域。數域K的種域K定義為K的最大的如下阿貝爾擴張，它是K與一個絕對阿貝爾域K1的複合，且在K的素除子上均不分歧。
基本介紹
- 中文名：種域
- 外文名：genus field
- 領域：數學
- 學科：域論
- 性質：類域的子域
- 擴張：阿貝爾擴張
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概念
種域(genus field)是類域的一種重要的子域。數域K的種域K定義為K的最大的如下阿貝爾擴張，它是K與一個絕對阿貝爾域K1的複合，且在K的素除子上均不分歧。二次域的種域源於高斯、阿貝爾域，而一般域的種域於20世紀50年代分別引入。種域理論在類域構作、數域類數、整數環結構等方面有重要套用。
類域論
代數數論的重要理論之一。它深刻地刻畫了(相對)阿貝爾擴張。基本定理如下：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，伽羅瓦群為G=G(K/k)，則存在k的模f(稱為K/k的導子，是k的一個除子)，使得對k的任意的模m，由f|m得出G同構於m射線類群I(m)/PmN(m)，式中I(m)為與m互素的k的理想集，N(m)為與m互素的K的理想到k的范全體，Pm為模m餘1的α∈k生成的主理想集。且k的素除子v在K分歧若且唯若v|f；k的與m互素的素理想p在K完全分裂若且唯若p∈PmN(m)。反之，對k的任一模m及I(m)的任一含Pm子群H，總存在惟一阿貝爾擴張K/k，使得H=kPmN(m)且上述事實均成立。特別地，G(K/k)I(m)/H.更經常的是用伊代爾語言敘述類域論的定理。基本定理：若K/k為數域的有限阿貝爾擴張，則伽羅瓦群G(K/k)同構於Jk/kNJk，式中Jk為k的伊代爾群，NJK為K的伊代爾群到k的范。上述群的同構由阿廷映射給出。由此可得出，數域k的諸有限阿貝爾擴張K/k與Jk的含k諸開子群H之間一一對應，即K對應於H=kNJK，稱為H的類域，G(K/k)Jk/H；這一對應是這兩個格(對於複合(或積及交))的反向(包含關係)格同構。類域論有系統的定理和套用，有多種不同的表述方式。對於局部域的阿貝爾擴張有類似的定理(局部類域論)，對於有限域上的單變數函式域也有類似的定理。
子域
域的特殊子集。若域F的一個子集合為S，對於F的加法與乘法也構成域，則稱S為F的子域，而稱F為S的擴域。F中至少含一個非零元的子集S是子域的充分必要條件為：對任意a，b∈S恆有a-b和ab(b≠0)屬於S。例如，有理數域是實數域及複數域的子域，集合：
是實數域的子域。
域
設P是一至少含有兩個元素的環，如果在P中乘法還具有下列性質：
(1)有單位元素，即在P中有一元素e，使ea=ae=a，對所有的a∈P；
(2)有逆元素，即對p中每個非零元素a都有一元素a，使aa=aa=e；
(3)交換律成立，即ab=ba，a，b∈P，那么P就叫做一個域。域有下列的基本性質：
(1)域沒有零因子；
(2)若集F在兩個 二元運算(加法和乘法)下滿足下列條件，則F為一個域：
①F是以零為單位元的加法群；
②由除零外的F的一切元組成的集在乘法下是一個交換群；
③乘法對加法是可分配的；
(3)在域F中，方程ax=b(a，b∈F，a≠0)有唯一的解，並記作x=a/b；
(4)在F中，指數律成立；
(5)若把域F的單位元e的n倍ne記作n，則F中任一元a的n倍na就是n與a的積na。
域擴張
域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。
若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α1，α2，…，αn}是有限集合時，F(α1，α2，…，αn)稱為添加α1，α2，…，αn於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α1，α2，…，αn)/g(α1，α2，…，αn)的元組成，其中α1，α2，…，αn∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α1，α2，…，αn)≠0。
