相對有補格

相對有補格(relatively complemented lattice )是一類重要的弱模格。若格L的每一區間都是有補格,則稱L為相對有補格。有補模格是相對有補格,但有補格未必是相對有補格。

弱模格是一類特殊的格。設L是格,a,b,c,d∈L,若b<a,d<c,a/b≈wc/d,有c/d的真子商c′/d′(即d<d′≤c′<c),使得c′/d′≈wa/b,則稱L為弱模格。

基本介紹

  • 中文名:相對有補格
  • 外文名:relatively complemented lattice
  • 領域:數學
  • 學科:格論
  • 性質:弱模格
  • 定義:格的每一區間都是有補格
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概念

相對有補格(relatively complemented lattice )是一類重要的弱模格。若格L的每一區間都是有補格,則稱L為相對有補格。有補模格是相對有補格,但有補格未必是相對有補格。任意有限長的相對有補格同構於單格的直積,其每一元都是它所包含原子的並。有限長的相對有補格要么是單格,要么是直可分解格。

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中,所考慮的元素之間具有某種順序。
例如,一組實數間的大小順序;一個集合的諸子集(或某些子集)間按(被包含)所成的順序 ;一組命題間按蘊涵所成的順序;等等。這種順序一般不是全序,即不是任意二元素間都能排列順序,而是在部分元素間的一種順序即偏序(半序)。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如,在代數學中,對於一個群G與其子群格(G)之間關 系的研究。在數理邏輯中,關於不可解度的研究。
格的定義:設(L,≤)是偏序集,若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界,則稱(L,≤)是格(lattice),為了方便,這樣的格成為偏序格。

補格

補格是一類特殊的格。它是所有元素均有其補元存在的格,亦稱此格是可補的。例如,布爾格Bn是可補的。這裡,所謂a為b的補元,或b為a的補元是指格L中元素a和b滿足條件:a∨b=1和a∧b=0,其中1和0分別為格L的最大元和最小元。此時,亦稱元素a和b是互補的.當把可補性僅僅限于格L的所有區間時,稱此格為相對補格,亦稱為局部補格。

有補格

有補格是一類重要的格。設L是有0和1的格,且x∈L,若有y∈L,使x∧y=0及x∨y=1,則稱y為x的補元。若格L的每一元均有補元,則L稱為有補格。集格是有補格。
亦稱有餘格。一種特殊的有界格。在有界格〈L,≤〉中,對於L中的任意元素a,如果存在b∈L,使得a+b=1,a·b=0,則稱元素b是元素a的補元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補元,則此格稱為有補格。補元是對稱的,如果a是b的補元,則b也是a的補元,也可以說,a和b這兩個元素是互補的。對於任一元素a∈A,可以存在多個補元,也可以不存在補元。例如,在有界格中,因為d∨c=1和d∧c=0,所以d和c是互補的.但b沒有補元,而a和d都是e的補元。

模格

一種組合構形。它是滿足如下條件的格:對於格的任意元素x,y和z,若x≤z,則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z.因此,模格是把滿足分配律的要求僅局限在可比較元素之間,從而模格可視為分配格的推廣,一個格是分配格,則必為模格。M5,N5均不是分配格,但M5是模格,而N5不是模格。在模格L上,映射φa把x映照為x∧a;映射ψb則把y映照為y∨b,這裡a和b均為L的固定的元素。於是φa和ψb為區間[b,a∨b]和[a∧b,a]之間互逆的同構映射,因而這兩個區間是同構的。模格的這一基本性質,亦可作為模格的另一等價定義.在模格上,把形如I1=[a∧b,a],I2=[b,a∨b]的區間稱為傳遞區間。若在兩區間[x,y]和[x′,y′]之間存在一組區間I1,I2,…,Ik,使得相鄰兩個區間都是傳遞區間,而且I1=[x,y],Ik=[x′,y′],則稱[x,y]和[x′,y′]中一個為另一個的投影區間。模格的投影區間均是同構的.這種結構上的均勻性是模格的主要特性。
模格也可由模元素來定義:格L為模格,若且唯若L的所有元素均為模元素.若L的元素a滿足:對於L的任意元素x,y,由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y,則稱a為模元素.此外,格L上的一對元素a和b,若對於L的所有元素z它們滿足:若b≥z,則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z,此時稱a,b為模元素對.由定義知,在模元素對a和b之間是有序關係的.這就是說,當a和b為模元素對時,b和a不一定為模元素對.因此,一般把模元素對a和b記為二元序對(a,b)M,或aMb.模格亦可由模元素對刻畫:格L為模格,若且唯若L的每對元素均為模元素對.關於模元素對的序關係為對稱的格,即若a和b為模元素對,則b和a也為模元素對,相應的格稱為模對稱格.

弱模格

弱模格是一類特殊的格。設L是格,a,b,c,d∈L,若bwc/d,有c/d的真子商c′/d′(即dwa/b,則稱L為弱模格。模格和相對有補格是弱模格。在弱模格中分配元與中立元是一致的。有限長分段有補弱模格可表示為單格的直積。

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