相對有補格

相對有補格(relatively complemented lattice )是一類重要的弱模格。若格L的每一區間都是有補格，則稱L為相對有補格。有補模格是相對有補格，但有補格未必是相對有補格。

弱模格是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若b<a，d<c，a/b≈wc/d，有c/d的真子商c′/d′(即d<d′≤c′<c)，使得c′/d′≈wa/b，則稱L為弱模格。

基本介紹

• 中文名：相對有補格
• 外文名：relatively complemented lattice
• 領域：數學
• 學科：格論
• 性質：弱模格
• 定義：格的每一區間都是有補格

概念

相對有補格(relatively complemented lattice )是一類重要的弱模格。若格L的每一區間都是有補格，則稱L為相對有補格。有補模格是相對有補格，但有補格未必是相對有補格。任意有限長的相對有補格同構於單格的直積，其每一元都是它所包含原子的並。有限長的相對有補格要么是單格，要么是直可分解格。

格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

補格

補格是一類特殊的格。它是所有元素均有其補元存在的格，亦稱此格是可補的。例如，布爾格B_n是可補的。這裡，所謂a為b的補元，或b為a的補元是指格L中元素a和b滿足條件：a∨b=1和a∧b=0，其中1和0分別為格L的最大元和最小元。此時，亦稱元素a和b是互補的.當把可補性僅僅限于格L的所有區間時，稱此格為相對補格，亦稱為局部補格。

有補格

有補格是一類重要的格。設L是有0和1的格，且x∈L，若有y∈L，使x∧y=0及x∨y=1，則稱y為x的補元。若格L的每一元均有補元，則L稱為有補格。集格是有補格。

亦稱有餘格。一種特殊的有界格。在有界格〈L，≤〉中，對於L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補元，則此格稱為有補格。補元是對稱的，如果a是b的補元，則b也是a的補元，也可以說，a和b這兩個元素是互補的。對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元。例如，在有界格中，因為d∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補的.但b沒有補元，而a和d都是e的補元。

模格

一種組合構形。它是滿足如下條件的格：對於格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z.因此，模格是把滿足分配律的要求僅局限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個格是分配格，則必為模格。M₅，N₅均不是分配格，但M₅是模格，而N₅不是模格。在模格L上，映射φ_a把x映照為x∧a;映射ψ_b則把y映照為y∨b，這裡a和b均為L的固定的元素。於是φ_a和ψ_b為區間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構映射，因而這兩個區間是同構的。模格的這一基本性質，亦可作為模格的另一等價定義.在模格上，把形如I₁=[a∧b，a]，I₂=[b，a∨b]的區間稱為傳遞區間。若在兩區間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區間I₁，I₂，…，I_k，使得相鄰兩個區間都是傳遞區間，而且I₁=[x，y]，I_k=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個為另一個的投影區間。模格的投影區間均是同構的.這種結構上的均勻性是模格的主要特性。

模格也可由模元素來定義：格L為模格，若且唯若L的所有元素均為模元素.若L的元素a滿足：對於L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素.此外，格L上的一對元素a和b，若對於L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時稱a，b為模元素對.由定義知，在模元素對a和b之間是有序關係的.這就是說，當a和b為模元素對時，b和a不一定為模元素對.因此，一般把模元素對a和b記為二元序對(a，b)_M，或aMb.模格亦可由模元素對刻畫：格L為模格，若且唯若L的每對元素均為模元素對.關於模元素對的序關係為對稱的格，即若a和b為模元素對，則b和a也為模元素對，相應的格稱為模對稱格.

弱模格

弱模格是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若bwc/d，有c/d的真子商c′/d′(即dwa/b，則稱L為弱模格。模格和相對有補格是弱模格。在弱模格中分配元與中立元是一致的。有限長分段有補弱模格可表示為單格的直積。