弱模格(weakly modular lattice)是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若b<a，d<c，a/b≈wc/d，有c/d的真子商c′/d′(即d<d′≤c′<c)，使得c′/d′≈wa/b，則稱L為弱模格。
基本介紹
- 中文名：弱模格
- 外文名：weakly modular lattice
- 領域1：數學
- 學科：格論
- 性質：一類特殊的格
- 實例：模格和相對有補格
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概念
弱模格(weakly modular lattice)是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若b<a，d<c，a/b≈wc/d，有c/d的真子商c′/d′(即d<d′≤c′<c)，使得c′/d′≈wa/b，則稱L為弱模格。模格和相對有補格是弱模格。在弱模格中分配元與中立元是一致的。有限長分段有補弱模格可表示為單格的直積。
格
“格”是一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。
例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。
格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。
偏序集
設A是一個集合，若在A記憶體在一個關係“≤”，它滿足：
①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；
②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；
③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。
則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。
如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。
在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤).
由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。
例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。
再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是說，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。
模格
模格是一種組合構形。它是滿足如下條件的格：對於格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z。因此，模格是把滿足分配律的要求僅局限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個格是分配格，則必為模格。下圖1里，M5，N5均不是分配格，但M5是模格，而N5不是模格。在模格L上，映射φa把x映照為x∧a；映射ψb則把y映照為y∨b，這裡a和b均為L的固定的元素。於是φa和ψb為區間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構映射，因而這兩個區間是同構的。模格的這一基本性質，亦可作為模格的另一等價定義。在模格上，把形如I1=[a∧b，a]，I2=[b，a∨b]的區間稱為傳遞區間。若在兩區間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區間I1，I2，…，Ik，使得相鄰兩個區間都是傳遞區間，而且I1=[x，y]，Ik=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個為另一個的投影區間。模格的投影區間均是同構的。這種結構上的均勻性是模格的主要特性。
圖1模格也可由模元素來定義：格L為模格，若且唯若L的所有元素均為模元素。若L的元素a滿足：對於L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素。此外，格L上的一對元素a和b，若對於L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時稱a，b為模元素對。由定義知，在模元素對a和b之間是有序關係的。這就是說，當a和b為模元素對時，b和a不一定為模元素對。因此，一般把模元素對a和b記為二元序對(a，b)M，或aMb。模格亦可由模元素對刻畫：格L為模格，若且唯若L的每對元素均為模元素對。關於模元素對的序關係為對稱的格，即若a和b為模元素對，則b和a也為模元素對，相應的格稱為模對稱格。
模
一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M.給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：μ： A→End(M)， a→aM。
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx；
3.(ab)x=a(bx)；
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿足條件：
4.1x=x (x∈M)；
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
