相似性質

相似性質(similarity property)是指相似變換的一種特徵，即圖形經過任何相似變換都不改變的性質。例如，結合性、平行性、保角性等都是相似性質。

基本介紹

• 中文名：相似性質
• 外文名：similarity property
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(仿射幾何)
• 簡介：相似變換的一種特徵
• 舉例：結合性、平行性、保角性

基本概念

平面上的變換如果對應線段A’B’與AB的比是個正的常數：

則這種變換叫做相似變換，常數k叫做相似比。

在相似變換下，如果圖形 變為圖形 ，則說圖形 相似於圖形 。

從相似變換的定義可以直接看出，移動不過是相似變換當相似比k等於1的特殊情形。顯然位似變換是相似變換的特例。

相似性質介紹

相似變換具有下面的性質：

(1)相似變換 的逆變換 仍是相似變換。

事實上，設相似變換 的對應線段為AB和A’B’，相似比為k：

則逆變換 的對應線段為A'B’和AB，並且它是以k的倒數

為相似比的相似變換。

根據這個性質可知，如果圖形 相似於 ，則 也相似於 。

(2) 兩個相似變換 和 的積仍是一個相似變換。

事實上，設相似變換 把線段AB變為A₁B₁，相似比為k₁；相似變換 把線段 變為 ，相似比為 。這時兩個相似變換的積 把線段AB變為 ，而且

因此， 是以 為相似比的相似變換。所以，平面上所有相似變換構成一個群叫做相似變換群。

根據這個性質可知，如果圖形 相似於 ， 相似於 ，則 相似於 。

其次，由上面兩個性質可知，相似變換 是恆等變換，恆等變換把每個圖形 變為本身，因此，每個圖形 相似於本身。

(3) 在相似變換下，一條直線上的點，仍變到一條直線上，也就是直線變為直線。

事實上，設A、B、C是一條直線a上的三個點，並且點B在A與C之間，A’、B‘，C’是它們的對應點(圖1)根據相似變換的定義：

圖1

這裡k是相似比，由此得到，

因為，AB+BC=AC，

所以A'B'+B'C'=A'C'，

因此，點A‘、B’、C’也在一條直線上，並且點B’在A‘與C’之間。

根據這個性質可知，在相似變換下，半直線變為半直線，角變為角，任意三角形變為與其相似的三角形。

(4)在相似變換下，一條直線上的三個點A、B、C的簡單比不變。

定義 一條直線上三個點A、B、C的簡單比是，這個簡單比常用記號(ABC)表示，A、B叫做基礎點，C叫做分點，簡單比與線段的分比略有不同，AB由分點C所得到的分比是，從有向線段來看，兩者差一個符號。C內分AB時簡單比是負值，外分時是正值。

設三點A、B、C在相似變換下，變為點A’、B‘、C‘，根據相似變換定義，

由此得到

也就是

(5) 在相似變換下，角的大小不變。

事實上，在相似變換下，任意三角形ABC變為相似三角形A‘B’C‘，且

因此三角形的角不變。

(6) 在相似變換下，對應三角形的面積比不變。

事實上，設三角形ABC變為A’B’C’，用h和h'表示這兩個三角形的高(圖2)根據上述性質，在相似變換下，h變為h'，因此，

這裡，表示對應三角形的面積，由這個等式可知，三角形面積的比是相似變換的不變數。

我們看出，相似變換的不變性質和不變數是相似幾何里的主要研究對象。

研究決定相似變換的條件，我們有：

定理 相似變換由不共線的三對對應點唯一確定。