盒中氣體

在量子力學里，盒中氣體是指在一個盒子內，一群不會互相作用的粒子。盒子內的位勢為零，盒子外的位勢為無限大。這些粒子永遠地束縛於盒子內，無法逃出。靠著粒子與粒子之間數不盡的瞬時碰撞，盒中氣體得以保持熱力平衡狀況。盒中氣體這個簡單的理論模型可以用來描述經典理想氣體，也可以用來描述各種各樣的量子理想氣體，像費米氣體、玻色氣體、黑體輻射、等等。

基本介紹

• 中文名：盒中氣體
• 外文名：Gas in the box
• 定義：不會互相作用的粒子
• 相關術語：費米氣體、玻色氣體
• 學科：量子力學
• 領域：量子力學

量子數極大近似

對於正質量或零質量的盒中粒子，其量子態是以一組量子數來枚舉的。在三維空間裡，這一組量子數是正整數 ；其中，x,y,z是三維空間的坐標軸標籤。量子態的波函式的波數矢量 是

其中，L是盒子的邊長。

粒子的每一個可能的量子態，可以想像為處於一個三維k-空間的一點，坐標是 。每一點離最近鄰點的距離是 。在這三維k-空間內，每一個量子態占據了 的k-空間。從k-空間的原點到k的距離是

假設f是每種粒子內涵的自由度。當粒子遇到碰撞時，f是粒子可以被改變的自由度。那么，每一組量子數設定了f個量子態。這f個量子態占據了 的k-空間。例如，一個自旋為1/2的粒子，有兩個自旋態，自由度為f=2。

假定系統的量子數極大，則可以將量子數視為連續值。那么，波數小於或等於k的量子態的數量大約為

其中，V=L³是盒子容積。

這只是f乘以一個半徑為k的圓球容積的八分之一的乘積。請注意這裡只有用到 為正值的圓球部分，k-圓球的八分之一。所以，波數在k與k+dk之間的量子態的數量大約為

注意到在使用這連續近似的同時，我們也失去了計算低能量量子態特性的能力，包括基態n=1。對於大多數的案例，這不是問題。可是，當思考像玻色-愛因斯坦凝聚這類的問題時，由於大部分的氣體處於基態或其鄰近量子態，低能量量子態的影響變得很重要。

不使用連續近似，能量為 的粒子的數量 為

其中， 是狀態 的簡併度， 是統計方程：

*麥克斯韋-玻茲曼統計：
*玻色-愛因斯坦統計：
*費米-狄拉克統計：

其中，是玻茲曼常數，T是溫度，是化學勢。

使用連續近似，波數在k與 k+dk之間的粒子的數量dN為

能量分布函式

有了前面幾段導引出來的結果，我們現在可以開始計算盒子氣體的某些分布函式。

粒子的A值在A與A+dA之間的機率是

其中，P_A是變數A的分布函式，N_T是總粒子數。

這表達式的積分是總機率，等於1:

按照這些公式，波數的分布函式可以表達為

能量E的分布函式是

。(2)

計算以前，必須先知道波數與能量的關係方程。

正質量粒子

對於正質量粒子，

其中， 是約化普朗克常數，m是質量。

將E與dE的公式代入公式(2)，再稍加運算，可得到

；(3)

其中，是正質量粒子的熱波長或熱德布羅意波長（thermal de Broglie wavelength）。

熱波長是一個很重要的物理量。當熱波長接近粒子與粒子之間距離時候，量子效應開始成為主導機制，氣體不能被視為麥克斯韋-玻茲曼氣體。

零質量粒子

對於零質量粒子，

其中，c是光速。將 E與dE的公式代入公式(2)，再稍加運算，可得到

；(4)

其中，是零質量粒子的熱波長。

範例

正質量費米-狄拉克粒子

金屬里的電子可以被視為正質量費米-狄拉克粒子。對於這案例，

積分公式(3)，粒子的能量在E與E+dE之間的機率，求算總機率：

其中，是多重對數（polylogarithm）。

所以，總粒子數為

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