基本介紹
- 中文名:盒中氣體
- 外文名:Gas in the box
- 定義:不會互相作用的粒子
- 相關術語:費米氣體、玻色氣體
- 學科:量子力學
- 領域:量子力學
量子數極大近似,能量分布函式,正質量粒子,零質量粒子,範例,相關條目,
量子數極大近似
![](/img/a/014/8f7c1b41ff434990f1163b3e7a4e.jpg)
粒子的每一個可能的量子態,可以想像為處於一個三維k-空間的一點,坐標是
。每一點離最近鄰點的距離是
。在這三維k-空間內,每一個量子態占據了
的k-空間。從k-空間的原點到k的距離是
![](/img/9/9b0/b23010f1d73d43cfd15d298b9c08.jpg)
![](/img/9/525/58d1b7054d7b27334896558bf5b0.jpg)
![](/img/e/102/43760f23c67e0cd3331b5cea0a5a.jpg)
![](/img/f/40c/8b3769983471e520915565255fa2.jpg)
假設f是每種粒子內涵的自由度。當粒子遇到碰撞時,f是粒子可以被改變的自由度。那么,每一組量子數設定了f個量子態。這f個量子態占據了
的k-空間。例如,一個自旋為1/2的粒子,有兩個自旋態,自由度為f=2。
![](/img/4/c50/4d6dbfe85bae1046599e492966ec.jpg)
假定系統的量子數極大,則可以將量子數視為連續值。那么,波數小於或等於k的量子態的數量大約為
![](/img/1/221/56ae7f2cbdf595dad11ebb3986ad.jpg)
這只是f乘以一個半徑為k的圓球容積的八分之一的乘積。請注意這裡只有用到
為正值的圓球部分,k-圓球的八分之一。所以,波數在k與k+dk之間的量子態的數量大約為
![](/img/4/705/c0a4749bffa8168f9afde0c02e37.jpg)
![](/img/b/044/fd168bc2a1c8686b48aeb5c4f6dc.jpg)
注意到在使用這連續近似的同時,我們也失去了計算低能量量子態特性的能力,包括基態n=1。對於大多數的案例,這不是問題。可是,當思考像玻色-愛因斯坦凝聚這類的問題時,由於大部分的氣體處於基態或其鄰近量子態,低能量量子態的影響變得很重要。
不使用連續近似,能量為
的粒子的數量
為
![](/img/d/61b/5302e14467bbfefbf4f65c39d1fa.jpg)
![](/img/d/fb5/a5f61cfd3b1b06de47f0d186fceb.jpg)
使用連續近似,波數在k與 k+dk之間的粒子的數量dN為
![](/img/b/69c/fbf6c2b6541294f30f2154db69ba.jpg)
能量分布函式
有了前面幾段導引出來的結果,我們現在可以開始計算盒子氣體的某些分布函式。
粒子的A值在A與A+dA之間的機率是
![](/img/3/819/356a38203e400e13aac42444c9be.jpg)
這表達式的積分是總機率,等於1:
![](/img/5/9f3/9a79fa7cbedfbcf50769dc5623c4.jpg)
按照這些公式,波數的分布函式可以表達為
![](/img/0/3f9/5d1015be522b769b751aa46f0e79.jpg)
能量E的分布函式是
![](/img/0/6ff/3ad522e978107966b4ca1eab2d15.jpg)
計算
以前,必須先知道波數與能量的關係方程。
![](/img/4/124/429765bc9c169e1ed460651f0a01.jpg)
正質量粒子
對於正質量粒子,
![](/img/c/cd6/92200c208d8d9c5adb25c02c9222.jpg)
將E與dE的公式代入公式(2),再稍加運算,可得到
![](/img/f/26a/74ff47e3f338f3fcc9663f3f0697.jpg)
其中,
是正質量粒子的熱波長或熱德布羅意波長(thermal de Broglie wavelength)。
![](/img/c/144/ea4494ebd8b08513440b4352cc00.jpg)
熱波長是一個很重要的物理量。當熱波長接近粒子與粒子之間距離
時候,量子效應開始成為主導機制,氣體不能被視為麥克斯韋-玻茲曼氣體。
![](/img/f/709/d7b56f3471c495d4dca12d20859d.jpg)