多重對數

多重對數（polylogarithm)是一種特殊函式。與對數函式不同，多重對數並非初等函式。由這個定義，其定義域為{z| |z|<1}，即所有模小於一的複數的集合。但我們還可以通過解析開拓（analytic continuation）將其定義域拓展至一個更大的區域。

其定義如右圖。

多重對數定義

當s=1時，多重對數Li₁(z)= −ln(1−z))，多重對數名稱的來源也與此有關。當s=2和s=3時，這函式分別稱為二重對數(dilogarithm)和三重對數(trilogarithm)。多重對數可以通過重複地積分來獲得，如右圖的公式：

多重對數用積分定義

以下暫且把多重對數表示為Li(s,z)。

對於某些整數s，多重對數有以下的表達式：

Li(1,z)=-ln(1-z)

Li(0,z)=z/(1-z)

Li(-1,z)=z/(1-z)^2

Li(-2,z)=z(1+z)/(1-3)^3

當s=-2,-1,0,1,2,3時多重對數的實部和虛部圖像如下：

實部

虛部

多重函式與黎曼Zeta函式有以下關係：

Li(s,1)=ζ(s)

在軟體Mathematica中，表示多重對數的函式為PolyLog[s,z]