基本介紹
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一、三元數的概念與表示法
1.三元數的概念
1.1 定義 ⑴i^2=j^2=-1⑵ij=0
全體三元數構成的集合叫做三元數集，用字母A^3來表示。
1.3 三元數空間
建立了空間直角坐標系來表示三元數的空間叫做三元數空間，簡稱數空間。於是：
實數一一對應實軸上的點；
複數z=a+bi一一對應複平面內點z(a,b)；
三元數p=a+bi+cj一一對應數空間內點p(a,b,c)
2.三元數的表示
2.1 三元數的代數形式
三元數p=a+bi+cj叫做三元數的代數形式。
2.2 三元數的幾何表示
⑴三元數的點表示 三元數空間內的點表示三元數。
⑵三元數的向量表示 三元數可以用向量來表示，三元數集A^3與三元數空間內所有以原點O為起點的向量所組成的集合一一對應（實數0與零向量對應）
2.3 三元數的三角形式
⑴三元數的模 與三元數對應的向量的模（即有向線段OP的長度）r叫做三元數的模（或絕對值）。
三元數模的幾何意義是：三元數在數空間內對應的點到原點的距離。
⑵三元數的輻角與傾角 數空間可看作複平面繞x軸旋轉而成，x軸與空間點p可唯一確定一個平面，該平面與複平面的夾角φ稱三元數p=a+bi+cj的傾角，φ=arctanc/b，平面xop稱傾角為φ的數平面，特別地，複平面是傾角為O的數平面，無數個數平面形成了數空間。當點落在x軸上時，傾角φ值不定，也就是說：實數的傾角φ值不定。
以x軸的正半軸為始邊，向量op所在的射線（起點是O）為終邊的角θ，叫做三元數的輻角，記做Argp。
⑶輻角的主值 在區間[0,2π)內的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作argp,即0≤argp<2π。非0三元數的輻角有無限多個值，但輻角的主值只有一個，三元數0的輻角不定。
⑷三元數的三角形式 三元數p可以表示成p=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]
r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]叫做三元數的三角形式。
說明:①三元數的代數形式是唯一的,但三角形式不是唯一的。
②代數形式a+bi+cj與相對應的三角形式r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]
的互化公式：a=rcosθ,b=rsinθcosφ,c=rsinθsinφ
求r：r=(a^2+b^2+c^2)^1/2；
求θ：由p0(a,b)點所在象限及rcosθ=a共同確定（一般取最小正角）
求φ：一般地，φ=arctanc/b，-π/2<φ≤π/2，b=0,c≠0時，φ=π/2；b=c=0時，φ值不定；
二、三元數的運算
三元數的代數形式的運算
(a0+a1i+a2j)±(b0+b1i+b2j)=(a0±b0)+(a1±b1)i+(a2±b2)j
(a0+a1i+a2j)×(b0+b1i+b2j)=(a0b0-a1b1-a2b2)+(a0b1+b0a1)i+(a0b2+b0a2)j
說明：⑴三元數的加法與乘法滿足交換律以及乘法對加法的分配律。
⑵一般地，當三個三元數在同一個數平面上時，它們的乘法滿足結合律。
⑶由於複平面是傾角為0的數平面，所以同在複平面上的三個數總是滿足結合律。
⑷在複平面上成立的結論，在其它數平面上也成立。
⑸關於兩個三元數如何作除法運算，可依三元數相等的定義及乘法公式求得。
三元數加減法的幾何意義
三元數的加法滿足平行四邊形法則，減法滿足三角形法則。
一個向量對應的三元數，等於終點對應的三元數減去起點對應的三元數。
三元數與複數及實數的聯繫與區別。
複數是實數的擴充,三元數是複數的擴充,要特別注意三元數與複數及實數的聯繫與區別。
⑴實數與數軸上的點一一對應,複數與複平面內的點、複平面內以原點為起點的向量一一對應,三元數與數空間內的點、數空間內以原點為起點的向量一一對應。
⑵兩個實數可以比較大小,有關不等式的一些性質僅限於實數集中成立。
⑶三元數的模是實數及複數絕對值的擴充,實數與複數的絕對值是三元數模的特例，因此,三元數模的所有性質對實數絕對值都成立,，而實數絕對值的一些性質對三元數模則不一定成立。
|p|=1，在p為實數時表示兩個點±1，在p為複數時表示單位圓，在p為三元數時表示單位球面。
⑷實數集對加、減、乘、除、乘方運算封閉；
複數集與三元數集對加、減、乘、除、乘方、開方運算封閉。
⑸一元n次代數方程在複數集中一般有且僅有n個根，在三元數集中，一元n次方程可以有多於n個的根，甚至有無窮多個根存在。
三元數三角形式的運算
- 三元數的乘方
三元數的n次冪的模等於這個三元數的模的n次冪，它的輻角等於這個三元數的輻角的n倍，而傾角不變。
{r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)]}^n=r^n[cos(nθ)+sin(nθ)(icosφ+jsinφ)]
特別地，當φ=0時得：[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))
此即複平面上的棣莫佛定理，在這裡成為了三元數乘方的一個特例。
2.三元數的開方
三元數的n次方根是r^1/n[(cos(θ+2kπ)/n)+sin((θ+2kπ)/n)(icosφ+jsinφ)],k=0,1,...,n-1
注意：
⑴一般地（指p不為實數時），三元數p總有固定的傾角φ，這時三元數的n次方根是n個三元數，它們的模等於這個三元數的模的n次算術根，它們的輻角分別等於這個三元數的輻角與2π的0，1，2，…，n-1倍的和的n分之一，而傾角φ不變。
⑵p為實數時，傾角φ值不定，此時一般需解參數方程來求解。
例1：求-1的平方根=？
解：⑴ 設p=x+yi+zj是-1的平方根，依定義，(x+yi+zj)^2=-1,x^2-y^2-z^2=-1,2xy=2xz=0
即x^2-y^2-z^2+2xyi+2xzj=-1,
聯立方程組求得：x=0,y^2+z^2=1
即p=yi+zj,其中y^2+z^2=1.
解：⑵ 利用-1的三角形式解參數方程易求得-1的平方根為:icosφ+jsinφ.
這當然與解⑴的結論一致。
易知-1的平方根的幾何意義是數空間中以原點為圓心，垂直於複平面，在平面yoz上的單位圓，其與複平面的交點恰好是i與-i兩個點，-1在複平面上有且僅有兩個根，在數空間中卻有整整一個圓的根存在。
需要指出的是：求一個三元數的n次方根，當n=2時，勉強可利用定義解代數方程求得，當n較大時，用三元數的三角形式求解較為簡單。
三元數開方的幾何意義
一般地，三元數（指p不為實數時）開n次方的n個根在數空間內所對應的個點均勻地分布在以原點為圓心，r^1/n為半徑，與複平面的傾角為φ的數空間中的一個圓上。
當然，當p為實數時，其n次方根的幾何意義依然可利用三元數的求方根公式進行討論。
三、三元數函式的簡單推廣及綜合評論
通過引入定義⑴i^2=j^2=-1⑵ij=0；現在已能對兩個三元數作加、減、乘、除等四則運算，對單個三元數可進行乘方、開方的運算，這都屬於初等數學中代數運算的範疇，利用指數函式的冪級數定義，通過對三元數函式作一簡單推廣，還可以求得任一給定三元數的指數函式。
p=a+bi+cj=r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)],
e^p=e^(r[cosθ+sinθ(icosφ+jsinφ)])=e^(rcosθ)[cos(rsinθ)+(icosφ+jsinφ)(sin(rsinθ))
此即求任一三元數指數函式的公式。
令φ=0,θ=π/2即可得到e^ir=cosr+isinr,將r換成θ，就得到：e^iθ=cosθ+isinθ
此即著名的歐拉公式，這裡可以從三元數理論中推導得出，從而是三元數理論中的一個特例。
從更高的觀點來看，可以觀察到數學在更高層次上的統一，複數的代數形式與極坐標的統一，三元數的代數形式與球坐標的統一。
丘成桐先生說的好！我們發展一個一般理論，其目的並不是為了服務於其它學科，而是基於它自身的完美以及達到和諧統一。
數學公式雖然常用來進行計算，但其更根本的作用則是首先闡明了各個變數之間的關係。
偉大的數學公式總是簡潔、優雅而和諧，猶如數學王國中的金字塔，具有震撼人心的、雕塑般的、永恆的美！
兩個三元數的積的模，若且唯若兩個三元數在同一個數平面上時，等於兩個三元數的模的積。
由於所有的複數都位於傾角為0的數平面——複平面上，當然複數滿足“模律定理”。
不僅如此，進一步的研究發現，一般地，當三元數在同一個數平面上時，它們的乘法滿足結合律。
新數系並不能在一般的意義上滿足結合律，但新數系理論正確指出了滿足什麼樣的條件，哪一類的數就可以滿足結合律。
最後得出結論，只需將建立空間直角坐標系來表示三元數的數空間看作是由無數個數平面所組成，原本紛亂的局面就立即變得和諧、簡單、有序。
中學數學課本中對數學的介紹很容易使人產生這種印象：學生們所學的課程是理所當然的正確，邏輯清楚、敘述嚴密，似乎數學家在創立它時沒有遇到任何困難，自然而然地建立了各種定理。
初等數學——作為數學大廈的外殼，似乎已足夠堅固，堅固到後人已難以再在其上添加哪怕一粒的小石子，這些課程經過千錘百鍊，好象完全已成定局。
波瀾壯闊的數學史卻形成鮮明的對比，它教導我們，一個科目的發展，是由匯集不同方面的成果點滴積累而成的。我們也知道，常常需要幾十年，甚至幾百年的努力才能邁出有意義的幾步。不但這些科目並未錘鍊成無縫的天衣，就是那已經取得的成就，也常常只是一個開始，許多缺陷有待填補，或者真正重要的擴展還有待創造。
中學數學課本中斟字酌句的敘述，未能表現出創造過程中的鬥爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路。
事實上，數學家的研究工作總是在跌跤中不斷爬起，在迷霧中不斷摸索前行，最後才零零碎碎地得到一份屬於自己的甜美果實。
數系的研究歷程也正是如此。
在數學史上，複數曾長時間的飽受非議，使數學家最終相信複數的不是邏輯，而是威塞爾、阿爾剛和高斯等人給出的幾何表示。
由於三元數也有一個直觀的幾何模型，且能支持函式理論的發展，所以三元數也有資格被稱之為“數“，而且是超越複數的三元數。
