狄利克雷定理

狄利克雷定理

數論中,狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數a,d,有無限多個質數的形式如a+nd,其中n為正整數,即在等差數列a+d,a+2d,a+3d,...中有無限多個質數——有無限個質數模d同餘a。

基本介紹

  • 中文名:狄利克雷定理
  • 外文名:Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
  • 提出者:狄利克雷
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:物理
  • 推廣定理:Chebotarev密度定理
人物介紹,定理定義,驗證推導,

人物介紹

狄利克雷(1805~1859) Dirichlet,Peter Gustav Lejeune 德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻,是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫,1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆;1822~1826年在巴黎求學,深受J.-B.-J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年,對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授,1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面,他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。
在數論方面,他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數論講義》,對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見,使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年,他構造了狄利克雷級數。1838~1839年,他得到確定二次型 類數的公式。1846年,使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面,他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章,論及著名的第一邊界值問題,現稱狄利克雷問題

定理定義

歐幾里得證明了有無限個質數,即有無限多個質數的形式如2n+1。
算術級數的質數定理:若a,d互質,則有
其中φ是歐拉函式。取d=2,可得一般的質數定理
Linnik定理說明了級數中最小的質數的範圍:算術級數a+nd中最小的質數少於c*d^L,其中L和c均為常數,但這兩個常數的最小值尚未找到。
Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

驗證推導

狄利克雷定理的證明依賴狄利克雷L級數,我們定義
如下:
考察其對數形式為:
將上式分開寫為:
易知:
在s=1處解析(因為絕對收斂)。
下面我們構造狄利克雷算術級數素數部分的和函式:
上式之所以成立是由狄利克雷特徵的正交性決定的,將其改寫為:
顯然
時解析,當
時我們有:
因此我們有:
至此,我們已經證明了:
故存在無窮多個素數
,且其分布密度為

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