狄利克雷單位定理

狄利克雷單位定理是代數數論中描述任意代數數域K中單位群結構的基本定理，最早由德國數學家狄利克雷給出。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷單位定理
• 給出人：德國數學家狄利克雷
• 引理：對任意常數個數是有限的

定理描述

令 為任意代數數域， 為其上代數數所構成的代數整環。記 的所有單位元所構成的集合為 ，容易證明 為自由Abel群，記 的單位群為 ，那么 。其中 為 到 的實嵌入個數， 為復嵌入個數。

定理證明

引理：對任意常數，的理想的個數是有限的。

證：只需證明任意素理想上述論斷成立即可，這由易得。（其中）

主定理證明：

我們通過如下映射將映射到的一個離散子群：

我們下面證明確為離散群，取任意有界閉域，若那么我們有

因此，由引理知這樣的是有限的。因此為中的格，我們下面證明其秩為。容易知道對任意，，所以

因此。我們接下來證明中存在個線性無關組，考察的對偶空間V（即所有到R的線性映射構成的線性空間），我們只需證明對任意均存在即可。對任意