二項式定理（英語：binomial theorem），又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓於1664年、1665年間提出。該定理給出兩個數之和的整數次冪諸如展開為類似項之和的恆等式。二項式定理可以推廣到任意實數次冪，即廣義二項式定理。
基本介紹
- 中文名：二項式定理
- 外文名：binomial theorem
- 別稱：牛頓二項式定理
- 主要貢獻者：艾薩克·牛頓
- 最早研究時間：1664~1665年
- 適用領域範圍：初等代數學、組合數學
發展簡史,定理定義,二項式的矩陣形式,驗證推導,定理推廣,定理意義,與一元高次方程的關係,套用例子,
發展簡史
二項式定理最初用於開高次方。在中國，成書於1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程式。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”（如圖1），滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次冪的二項式係數表，但是，賈憲並未給出二項式係數的一般公式，因而未能建立一般正整數次冪的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章算法》中引用了此圖，並註明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中復載此圖，並增加了兩層，添上了兩組平行的斜線（如圖2）。
在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式係數表的構造方法：每一列中的任一數等於上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆將印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。13世紀納綏爾丁在其《算板與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式，並用到了二項式係數表。15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，並給出了直到九次冪的二項式係數表，還給出了二項式係數表的兩術書中給出了一張二項式係數表，其形狀與賈憲三角一樣。16世紀，許多數學家的書中都載有二項式係數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次冪的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英國的牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀，瑞士的歐拉和義大利的卡斯蒂隆分別採用待定係數法和“先異後同”的方法證明了實指數情形的二項式定理。
定理定義
根據此定理，可以將x+y的任意次冪展開成和的形式
二項式的矩陣形式
驗證推導
考慮用數學歸納法。
當
時，則
假設二項展開式在
時成立。
設
，則有：
定理推廣
牛頓廣義二項式定理
二項式定理可以推廣到對任意實數次冪的展開。
其中
。
牛頓二項式擴充定理
設函式
根據二項式定理，得F(x)的任意一項為：
同理，上式中的任意一項為
如此類推，我們預知最後一項存在；
那么我們得到其中
設M=0+j+....+q+p+m，而且
項的係數為AM
當x=1時，這就是多項式定理
二項式定理推廣至n為負數
二項式定理的一個常用形式為
考慮到組合數的性質，上式可以改寫為
(n>0)
我們猜想當上式中左邊的指數為負整數時，公式
依然成立，即
(n>0)
上式的正確性可以很容易地加以驗證。同理，二項式定理也可以推廣到非整數指數的情況。
上面的結果與牛頓二項式展開完全一致。
定理意義
這個定理在遺傳學中也有其用武之地，具體套用範圍為：推測自交後代群體的基因型和機率、推測自交後代群體的表現型和機率、推測雜交後代群體的表現型分布和機率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和機率、推測夫妻所生孩子的性別分布和機率、推測平衡狀態群體的基因或基因型頻率等。
與一元高次方程的關係
對於任意一個n次多項式，我們總可以只藉助最高次項和（n-1）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（n-2）次項。特別地，對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。以最高次項係數為1的三次多項式為例，其配立方的過程如下：
由於二次以上的多項式，在配n次方之後，並不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。於是，對於二次以上的一元整式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，只需配出關於x的完全平方式，然後將後面僅剩的常數項移到等號另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。對於求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的變換，無論是求解過程，還是求根公式，其複雜程度都要比一次、二次方程高出很多。
詳見：一元三次方程、一元四次方程。
套用例子
證明組合恆等式
二項式定理給出的係數可以視為組合數
的另一種定義。 因此二項式展開與組合數的關係十分密切。 它常常用來證明一些組合恆等式。
比如證明
，可以考慮恆等式
。
展開等式左邊得到：
。 注意這一步使用了有限求和與乘積可以交換的性質。
同時如果展開等式右邊可以得到
。
比較兩邊冪次位的項的係數可以得到：
。
令
，並注意到
即可得到所要證明的結論。
證明自然數冪求和公式
公式具體內容:
當n為奇數時，由1+2+3+4+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=N+N+N+...+N加或減去所有添加的二項式展開式數
=(1+N)N減去所有添加的二項式展開式數。
當n為偶數時，由1+2+3+4+5+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+[4+(N-4)]...+[(N-1)+(N-N-1)]+N
=2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數
又當n為偶數時，由1+2+3+4+5+6+...+N與s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得:
2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)]
=2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或減去所有添加的二項式展開式數,合併n為偶數時2S的兩個計算結果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的計算公式。
