二項展開式

二項展開式

二項展開式是依據二項式定理對(a+b)n進行展開得到的式子,由艾薩克·牛頓於1664-1665年間提出。二項展開式是高考的一個重要考點。在二項式展開式中,二項式係數是一些特殊的組合數,與術語“係數”是有區別的。二項式係數最大的項是中間項,而係數最大的項卻不一定是中間項。

基本介紹

  • 中文名:二項展開式
  • 外文名:Binomial expansion
  • 定理:二項式定理
  • 提出者:艾薩克·牛頓
  • 方法:特殊值法
  • 套用:粗略的分析和估計以及證明恆等式
二項式定理,理解,性質,證明,例題,某項的係數,係數最值項,指定項,

二項式定理

其中,
,又有
等記法,稱為二項式係數,此係數亦可表示為楊輝三角形。等式的右邊
即為
的展開式,稱為二項展開式。

理解

看成
相乘,從每個括弧中取一項 (非
) 相乘的所有單項式合併同類項得到的,按取
的個數分為
類 ,不取
的是
,取 1 個
的是
,..., 取
的是
,...,取
的是
注意:
(1)選取性,二項式的兩項怎樣選取 (各取幾個) 才能構成所求的項;
(2)有序性,
的展 開式第
項是取
(同時取
), 這裡的
不能互換
(3)項 、項的係數與二項式係數的區別
某項要把這一項全部寫出來;某項的係數只寫這一項的係數,不帶字母 (即把每個字母當作數 1) ;某項的二項式係數就是相應的組合數

性質

(1)項數:n+1項
(2)第k+1項的二項式係數是
(3)在二項展開式中,與首末兩端等距離的兩項的二項式係數相等。
(4)如果二項式的冪指數是偶數,中間的一項的二項式係數最大。如果二項式的冪指數是奇,中間兩項的的二項式係數最大,並且相等。
(5)二項式通項:
,是第

證明

這裡,採用數學歸納法對二項式定理進行證明
假設二項展開式在
時成立,設
,則:
(取出
的項)
(設
( 取出
項)
(兩者相加)
(套用帕斯卡法則
等式也成立
結論:對於任意自然數n,等式均成立。

例題

某項的係數

求二項展開式的某項或某項的係數是高考數學的一個基本知識點,每年的高考題都有一定的題出現。
例1. 求
的展開式中
的係數
解:
要取2個,故
的係數是
例2. 求
的展開式中
的係數
解:
要取4個,故
的係數是

係數最值項

例. 求
展開式中係數最大項和最小項
解:
通項=
通項的係數=
設係數
最大,則
解得:
,因為
,所以
,故係數最大項為
由於最大項在中間取得,所以最小項在兩端,計算得:
,故係數最小項為

指定項

求二項展開式中的指定項,一般是利用通項公式進行。
例.
展開式中的常數項
解:展開式的通項=
,令
,解得
故常數項為:

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