二項展開式是依據二項式定理對(a+b)n進行展開得到的式子,由艾薩克·牛頓於1664-1665年間提出。二項展開式是高考的一個重要考點。在二項式展開式中,二項式係數是一些特殊的組合數,與術語“係數”是有區別的。二項式係數最大的項是中間項,而係數最大的項卻不一定是中間項。
基本介紹
- 中文名:二項展開式
- 外文名:Binomial expansion
- 定理:二項式定理
- 提出者:艾薩克·牛頓
- 方法:特殊值法
- 套用:粗略的分析和估計以及證明恆等式
二項式定理,理解,性質,證明,例題,某項的係數,係數最值項,指定項,
二項式定理
理解
將 看成 個 相乘,從每個括弧中取一項 (非 即 ) 相乘的所有單項式合併同類項得到的,按取 的個數分為 類 ,不取 的是 ,取 1 個 的是 ,..., 取 個 的是 ,...,取 個 的是
注意:
(1)選取性,二項式的兩項怎樣選取 (各取幾個) 才能構成所求的項;
(2)有序性, 的展 開式第 項是取 個 (同時取 個 ), 這裡的 和 不能互換
(3)項 、項的係數與二項式係數的區別
某項要把這一項全部寫出來;某項的係數只寫這一項的係數,不帶字母 (即把每個字母當作數 1) ;某項的二項式係數就是相應的組合數
性質
(1)項數:n+1項
(2)第k+1項的二項式係數是
(3)在二項展開式中,與首末兩端等距離的兩項的二項式係數相等。
(4)如果二項式的冪指數是偶數,中間的一項的二項式係數最大。如果二項式的冪指數是奇數,中間兩項的的二項式係數最大,並且相等。
(5)二項式通項:,是第項
證明
這裡,採用數學歸納法對二項式定理進行證明
當 ,
假設二項展開式在 時成立,設 ,則:
(取出 的項)
(設 )
( 取出 項)
(兩者相加)
(套用帕斯卡法則)
等式也成立
結論:對於任意自然數n,等式均成立。
例題
某項的係數
求二項展開式的某項或某項的係數是高考數學的一個基本知識點,每年的高考題都有一定的題出現。
例1. 求 的展開式中 的係數
解: 要取2個,故 的係數是
例2. 求 的展開式中 的係數
解: 要取4個,故的係數是
係數最值項
例. 求 展開式中係數最大項和最小項
解:
通項=
通項的係數=
設係數 最大,則
解得: ,因為,所以,故係數最大項為和
由於最大項在中間取得,所以最小項在兩端,計算得:,故係數最小項為
指定項
求二項展開式中的指定項,一般是利用通項公式進行。
例. 展開式中的常數項
解:展開式的通項=,令 ,解得
故常數項為: