多項式定理

二項式定理的展開式富有規律性、美觀性，體現了數學的美學文化，而多項式定理為二項式定理的推廣。用實際生活中的空盒放球來描述的話，則為：把 n 個有區別的小球放入到 k 個有區別的盒子中（盒內無序），使得第一個盒子裡邊裝有 n1 個小球，第二個盒子裡邊裝有 n2 個小球，…，第 t 個盒子裡邊裝有 nt個小球，並且滿足 n1+n2+...+nt=n，則可以很容易的利用多項式定理得到不同方法總的數目。

基本介紹

• 中文名：多項式定理
• 外文名：Multinomial theorem
• 提出者：德國數學家萊布尼茲
• 套用學科：代數，組合數學
• 本質：二項式定理的推廣
• 套用1：求解多項式展開式中某一項的係數
• 套用2：小球入盒問題

定義

多項式定理是德國數學家萊布尼茲首先發現的，他將此發現寫信告訴了瑞士數學家約翰.貝努利，由貝努利完成了定理的證明。

預備知識

記號

為方便起見，定義如下記號：

其中是非負整數，滿足

意義：將 n 個元素分為 t 組，使得第 i 組有個元素的方式數，重數分別為的 t 類元素的排列數。

多項式係數的Pascal公式

定理內容

設是正整數，則對 t 個實數有

其中。

定理證明

是 n 個因式的乘積，其展開式中共有項，我們可以按如下方法將這些項進行分類，設是展開式中任一項，如果在中有個，個，...，個（其中有），則把歸於 類。顯然，屬於類的項的個數等於由個，個，...，個作成的全排列數，為。因此，在的展開式中（合併同類項之後），的係數為，至此該定理得證。

特殊情況

（1）若取，則有：。

（2）多項式定理是對二項式定理的推廣，在多項式定理中令就得到了二項式定理 。

推論

推論1

（二項式定理）

設 n 為正整數，x 和 y 是任意實數，則有： 。

推論2

設 n 為正整數，x是任意實數，則有：。

推論3

設 n 為正整數，則有：

（1）（令推論2中 x=1 ，則可得）。

（2）（令推論2中 x=-1 ，則可得）。

推論4

（令多項式定理中的，則可得到）。