波萊爾可測空間

簡介

可測空間是測度的定義域，是測度論中的基本概念，在一個可測空間上可以定義不止一種測度。

設𝓕是基本空間Ω上的σ代數，稱(σ,𝓕)為可測空間，而稱𝓕中的元素A是(σ,𝓕)中的可測集，也稱為Ω中的𝓕可測集，簡稱可測集。

當𝓕是R中的勒貝格可測集類𝓛時，(R,𝓛)稱為勒貝格可測空間。

例如，當𝓕是R中的波萊爾集類𝓑時，(Rn,𝓑)稱為波萊爾可測空間。

波萊爾集類是深入討論函式的連續性、可微性、可積性時必不可少的重要集類，是由R中半開區間組成的半環所生成的σ代數，稱為R上的波萊爾集類，也可定義為R中的閉集（開集）全體生成的σ代數。

波萊爾集類是由波萊爾於1898年引人的，故以此而命名。這種集類在測度論、機率論、遍歷理論等數學分支中均有廣泛套用，在一般拓撲空間中可類似地引入波萊爾集類。

數學上，測度（Measure）是一個函式，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、機率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和機率論有重要的地位。