基本介紹
綜述,定義,例子,可決定性,完備性,歷史,與功能性問題的等價性,
綜述
決定性問題在數學問題是否“可決定”中出現，即是否存在有效方法判定一個性質的存在性。數學中許多重要的問題都是不可決定的。
決定性問題與功能性問題(Function problem)（或複雜型問題）密切相關，功能性問題的答案內容，較簡單的是比“與非”複雜很多。範例問題：“給予一個正整數x，則哪些數可整除x？”
決定性問題只有是-否兩種輸出
決定性問題只有是-否兩種輸出另一個與上述兩類問題相關的是最佳化問題，此問題關心的是尋找特定問題的最佳答案。
計算複雜度的領域中，分類可決定問題的依據在於此問題有多難被解決。在此標準下，所謂的難是以解決某問題最有效率的算法所花費的計算資源為依據。在遞歸理論中，非決定性問題由圖靈度（不可解度）決定，指的是一種在任何解答中隱含的不可計算性量詞。
計算性理論的研究集中在決定性問題上。在與功能性問題的等值問題中，並沒有失去其普遍性。
一個判斷決定性的重要手段是萊斯定理(Rice's Theorem)。
定義
決定性問題指的是在一個數量為無限大的輸入集合中，可產出任何是或非解答的問題之集合。因此傳統上定義決定性問題，乃依其解答為是的輸入之集合。在此情形下，一決定性問題亦等於一形式語言。
形式上，決定性問題是一自然數子集A。藉由使用哥德爾數，也可學習諸如形式語言的其他集合。非正規的定義決定性問題，就是判別一個給予的數字是否在此集合內。
例子
一個經典可決定的決定性問題是質數問題。藉由測試每一個可能的因子，有可能有效決定一個自然數是否為質數。儘管存在很多效能更佳的質數判定方法，任何有效方法的存在就已足夠建立可決定性。
可決定性
一決定性問題A，若A是一個遞歸集合，則稱做可決定的（decidable）或有效可解（effectively solvable）。若其A是一遞歸可枚舉集合則稱為部分可決定的（partially decidable）、半可決定的（semidecidable）、可解的（solvable）或可證明（provable）。除此之外，此問題稱為不可決定的。
重要的不可決定的決定性問題包括停機問題。
完備性
歷史
德語“Entscheidungsproblem”，亦即“判定性問題”（Decision-problem），最早出自於大衛·希爾伯特的話：“在1928年的會議上，希爾伯特精確地描述了他的問題。首先，數學是否具有完備性？……其次，數學是否具有相容性？……再次，數學是否具有判定性？這些問題的意思是，是否存在這樣一種確定的方法，在理論上可適用於任何假設，並且能夠保證對無論是否正確的假設都能給出一個正確的結果”（Hodeges，p. 91）。希爾伯特相信“在數學上沒有‘ignorabimus’”，亦即“我們將無從得之”。
與功能性問題的等價性
一個功能性問題是由一個局部函式f組成的，這個非正式的“問題”是計算f在它定義下的值。
所有功能性問題可以轉化成決定性問題；這個決定性問題是這個函式的圖（函式f的圖是指數對(x,y)有f(x)=y）,如果這個決定性問題是可解的，那么這個功能性問題同樣可解。這個簡化沒有考慮計算複雜性，比如劃歸後在多項式時間可決定的函式(運算時間是根據函式(x,y)計算的)不一定在多項式時間內可計算（這時只對x計算），函式f=2^x就有這種性質。
