比較原理

比較原理

比較原理(Comparison Principle)是通過比較微分方程右端直接判斷系統穩定性的一種原理。描述系統動力學特性的微分方程之右端是一個函式,由該函式值的大小可判定方程解的大小,從而可用於判別系統運動的有界性和穩定性。

基本介紹

  • 中文名:比較原理
  • 外文名:comparison principle
  • 套用學科:數學術語
  • 範疇:數理科學
  • 定義:比較微分方程右端判斷系統穩定性
  • 涉及:系統動力學
  • 類型:數學術語
術語簡介,套用,

術語簡介

考慮微分方程
式中
中包含原點的某區域)為連續函式。
由微分方程解的存在性定理知,任取
,存在方程
的解
滿足
,記為
,並稱其為過點
的解。但一般
不是唯一的,這些解或者在整個區間
上存在,或者於某個有限時間
離開
的定義域。如果對向量
,用
表示
,則有以下右行最大解的定義。
定義:設
是方程
的在區間
上有定義且過點
的解,若對此方程的任一個在區間
上有定義且過點
的解
均有
則稱
是方程
在區間
上過點
的右行最大解。
關於右行最大解的存在性,有以下定義。
定義:若定義在
上的一個向量函式
的每個分量
均滿足:當任意兩向量
滿足
時,不等式
均成立,則稱
是對
擬單調不減的。

套用

研究系統
式中
中包含原點的某區域)連續,滿足解的右邊整體存在唯一性條件且有
。當研究漸近穩定性時,設
是系統
的孤立平衡點;當研究全局穩定性時,設
是系統
的唯一平衡點。
利用比較原理可將判定
維系統
零解穩定性的問題轉化為判定一
維比較方程零解的穩定性問題。
定理:對於系統
,若存在向量函式
滿足:
1、
2、
各分量均連續,對
滿足局部的
條件,且
中正定。

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