正比例函式

一般地，兩個變數x、y之間的關係式可以表示成形如y=kx的函式（k為常數，x的次數為1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函式。

正比例函式屬一次函式，但一次函式卻不一定是正比例函式。正比例函式是一次函式的特殊形式，即一次函式 y=kx+b 中，若b=0，即所謂“y軸上的截距”為零，則為正比例函式。

正比例函式的關係式表示為：y=kx（k為比例係數）。

當k>0時（一三象限），k的絕對值越大，圖像與y軸的距離越近；函式值y隨著自變數x的增大而增大；

當K<0時（二四象限），k的絕對值越小，圖像與y軸的距離越遠。自變數x的值增大時，y的值則逐漸減小。

基本介紹

• 中文名：正比例函式
• 外文名：directly proportional function
• 表達式：y=kx
• 提出者：Jack louny
• 提出時間：1911
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：生活
• 適用領域範圍：數學

定義

正比例函式屬於一次函式，是一次函式的一種特殊形式。即一次函式形如：y=kx+b（k為常數，且k≠0）中，當b=0時，則叫做正比例函式。 一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的圖像是一條經過原點的直線，我們稱它為直線y=kx。

性質

單調性

當k>0時，圖像經過第一、三象限，從左往右上升，y隨x的增大而增大（單調遞增），為增函式；

當k<0時，圖像經過第二、四象限，從左往右下降，y隨x的增大而減小（單調遞減），為減函式。

對稱性

對稱點：關於原點成中心對稱。

對稱軸：自身所在直線；自身所在直線的垂直平分線。

圖像

圖像描述

正比例函式的圖像是經過坐標原點（0，0）和定點（1，k）兩點的一條直線，它的斜率是k（k表示正比例函式與x軸的夾角大小），橫、縱截距都為0，正比例函式的圖像是一條過原點的直線。

正比例函式y=kx（k≠0），當k的絕對值越大，直線越“陡”；當k的絕對值越小，直線越“平”。

1、已知一點坐標，用待定係數法求函式解析式。先設解析式為y=kx，再代入已知點坐標，解出k的值。

2、解出k的值後，在數軸上標出各點並連線個點

圖像作法

（一）

1、在x允許的範圍內取一個值，根據解析式求出y的值；

正比例函式的圖片

2、根據第一步求的x、y的值描出點；

3、作出第二步描出的點和原點的直線（因為兩點確定一直線）。

（二）

1、已知一點坐標，用待定係數法求函式解析式。先設解析式為y=kx，再代入已知點坐標，解出k的值；

2、解出k的值後，在數軸上標出各點並連線個點。

圖像性質

正比例函式在線性規劃問題中體現的力量也是無窮的。

比如斜率問題就取決於k值，當k越大，則該函式圖像與x軸的夾角越大，反之亦然。

還有，y=kx 是 y=k/x 的圖像的對稱軸。

正比例

①正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關係叫做成正比例關係。

②用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關係可以用以下關係式表示：其中k為常數。

③正比例關係兩種相關聯的量的變化規律：對於比值為正數的，即y=kx(K為常數，k≠0)，此時的y與x，同時擴大，同時縮小，比值不變。例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間 成正比例 。以上各種商都是一定的，那么被除數和除數所表示的兩種相關聯的量成正比例關係。

注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時，應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，那它們就不能成正比例。例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比例關係，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關係。 而單價數量與總價是成正比的（單價不變,總價隨著數量的增減而增減）。

例題

首先通過5個問題，得出5個函式，觀察這5個函式，可納出正比例函式概念。

根據上面的5個實際問題，我們得到5個函式。下面觀察這5個函式的共同點，以便歸納出正比例函式概念。

①h=2t ；② m=7.8n； ③s=0.5t； ④T=t/3 ；⑤y=200x。

這5個函式有什麼共同的特點？

1：都有自變數。

2：都是函式。

3：都有常量。

這5個函式的右邊都是常量和自變數的什麼形式？

這5個函式都是常量與自變數的乘積形式，都可表達為y=kx(k不等於0)的形式。

下面是4個函式，請判斷哪些是正比例函式？

①y=3； ②y=2x； ③y=1/x； ④y=x^2。

解答：

②是正比例函式。因為它符合正比例函式的的定義。①，③，④則不是正比例函式。①：它為常數函式，無自變數。③：它為反比例函式。 ④：它為二次函式。