標量化基本定理

標量化基本定理(scalarization basic theorem)是研究多目標規劃理論和方法的重要基礎和工具。研究多目標最最佳化問題的一個基本途徑，是把它轉化為與之相關的單目標(數值)最最佳化問題，這種把向量問題標量化的作法，便是所謂多目標最最佳化的標量化處理，在多目標最最佳化的研究中，這種標量化處理手段不論在理論上或求解中都有著基本重要的意義。

基本介紹

• 中文名：標量化基本定理
• 外文名：scalarization basic theorem
• 所屬學科：數學
• 屬性：研究多目標規劃的基礎和工具
• 所屬問題：運籌學(多目標規劃)

基本介紹

定理1 設多目標規劃問題的約束集非空，是單調函式，考慮與相關的標量極小化問題，有如下的標量化基本定理：

1. 若關於是嚴格增函式，是的最優解，則是的有效解；

2. 若關於是增函式，是的最優解，則是的弱有效解。

記多目標規劃問題的有效解、弱有效解和絕對最優解組成的集合分別為。

證明：(1)假設是的最優解，但，則存在，使得，由為關於的嚴格增函式，有，這與是的最優解矛盾，故假設不成立，。

(2) 的證明與(1)類似，此處從略。

相關推論

對多目標極小化問題，記與對應的非負向量為。以下將針對三種特殊形式的，考慮與的有效解之間的關係。

1.做向量與的數量積可以得到一個數值函式

此時，記極小化問題為，

推論1 設是常向量。

(1) 若，是的最優解，則；

(2) 若，是的最優解，則。

證明：容易驗證，當時，函式關於是嚴格增(增) 函式，由定理1可知，結論成立。

2.取

其中p為給定的常數，記極小化問題為，

推論2 設是常向量，。

(1) 若，是的最優解，則；

(2) 若，是的最優解，則。

3. 取

並記極小化問題為，

推論3設若是的最優解，則

。