基本介紹
- 中文名:極小集
- 外文名:minimal set
- 所屬學科:數學(動力系統)
- 屬性:動力系統一個重要的不變集合
基本介紹,相關性質,極小集的存在性,
基本介紹
換句話說,如果
在極小集M內有一個緊緻的不變集
,那么K= M。由此可以導出許多有趣的性質例如,設M 是
的極小集,則
。從而
。因此,
也是緊緻的。由
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極小集的定義,就推出
![](/img/f/0e2/07b719fded4710423bb22cc4a55e.jpg)
![](/img/f/906/bb1920d354c545c81a1a7e938dba.jpg)
相關性質
定理1 設軌線
是正向(或負向)B-式回復的,則它的閉包
是一個極小集。
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定理2設M是動力系統
的極小集,則過任一點
的運動
是(雙向)B-式回復的。
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![](/img/7/165/f26eda5aaa7fc81c38f098d5e656.jpg)
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定理2說明,在極小集中的運動都是(雙向) B-式回復的。因此,極小集是鑑別B-式回復運動的一個簡單的幾何方法。
注意,極小集一定是準極小集,而且它的每條軌線(在極小集內) 都是處處稠密和雙向B-式回復的。然而,在準極小集內不一定每條軌線都是處處稠密的。
極小集的存在性
下述命題是著名的極小集存在定理。
定理3設
是動力系統
的(非空)緊緻不變集,則
在K內至少有一個極小集。
![](/img/8/e91/d8e687ea2226cab9936726759680.jpg)
![](/img/e/7eb/75096e71a2df0d19e82726c2e4a9.jpg)
![](/img/e/7eb/75096e71a2df0d19e82726c2e4a9.jpg)
這裡順便指出,動力系統
的
極限點集
和
極限點集
都是不變的閉集。因此,當
或
是緊緻時,
的極小集是存在的,從而
的B-式回復運動也是存在的,它們可以是平凡的,也可以是非平凡的。特別,對於平面動力系統,極小集都是平凡的(它們不是奇點就是閉軌)。這樣,由極小集存在定理可以得到下述Poincaré-Bendixson定理:
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![](/img/1/a05/1538a5ff38fc96251623b468f9e4.jpg)
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![](/img/e/7eb/75096e71a2df0d19e82726c2e4a9.jpg)
如果平面動力系統
有一個正向(或負向)有界的運動
,而且它的正向極限點集
(或負向極限點集
)不包含奇點,則
(或
)是一條閉軌。
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![](/img/e/5b6/5748130290e4376d0d03be36f412.jpg)