極小理想

極小理想是一類特殊理想，是與極大理想相對偶的概念。

環R的一個左(右)理想a，若a不真含R的非零左(右)理想，則稱a為R的極小左(右)理想。類似地，可定義極小理想。極小理想在本原環理論中有重要作用。

基本介紹

• 中文名：極小理想
• 外文名：minimal ideal
• 適用範圍：數理科學
• 定義：一類特殊理想，是與極大理想相對偶的概念

定義

若環R的（左，右）理想I滿足：

①R真包含I；

②真包含I的（左，右）理想只有R，則稱I為R的極大[左，右]理想(maximal[left,right]ideal)。

若環R的（左，右）理想I滿足：

1）零理想真包含於I；

2）真包含於I的（左，右）理想只有零理想，則稱I為R的極小[左，右]理想(minimal[left,right]ideal)。

理想

[ideal]

若環R的非空子集S關於R中的加法和乘法封閉，即，則S本身關於此加法和乘法成為一個環，稱為R的一個子環(subring)，環R的子集為R的一個子環，稱為環R的中心(centerofaring)，記作Z(R)。

左右理想

設I為環R的子環，若對任意的及都有，則稱I為R的一個左理想(leftideal)。若對任意的及都有，則稱I為R的一個右理想(rightideal)。若I既是左理想又是右理想，則稱I為R的一個(雙邊)理想。環R的只含零元的子集為R的一個理想，稱為零理想(zeroideal)，記作0。環R本身也是R的一個理想，稱為單位理想(unitideal)。

理想的和積

若為環R的理想，則集合仍為R的理想，稱為理想的和(sumofideals)，記作。所有形如(其中)的元素的有限和的集合亦為R的理想，稱為理想的積(productofideals)，記作。

理想環

若X為環R的子集，則R的包含X的所有子環(左理想、右理想、理想)的交稱為由X生成的R的子環(左理想、右理想、理想)(subring(leftideal,rightideal,ideal)generatedbyX)。由一個元素生成的左理想(右理想、理想)稱為主左理想(主右理想、主理想)[principalleftideal(principalrightideal,principalidea)]。若環R中的每個左(右)理想都是主左(右)理想，則稱R為主左(右)理想環[principalleft(right)idealring]。

若I為環R的理想，則加法商群關於乘法成為一個環，稱為環R模理想I的剩餘類環(residueclassring)或商環(quotientring,factorring)。若為環R的兩個理想，則加法商群為商環的理想，稱為理想J與I的商(quotientofideals)。