梯度投影法

梯度投影法(gradient projection method)是利用梯度的投影技巧求約束非線性規劃問題最優解的一種方法。

基本介紹

• 中文名：梯度投影法
• 外文名：gradient projection method
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 定義：求約束非線性規劃問題最優解
• 涉及：約束非線性規劃問題

概念

梯度投影法(gradient projection method)利用梯度的投影技巧求約束非線性規劃問題最優解的一種方法。

求帶線性約束的非線性規劃問題更為有效。它是從一個基本可行解開始，由約束條件確定出凸約束集邊界上梯度的投影，以便求出下次的搜尋方向和步長。每次搜尋後，都要進行檢驗，直到滿足精度要求為止。這種方法是羅森於1960年提出的，戈德福布和拉匹塔斯於1968年作了改進。

基本原理

考慮最最佳化問題

其中 ， 。

的可行域記為 ，對任意 ，令

定理1：設 ，則 為 在 處的可行方向的充分必要條件是

推論1：設 是 在 處的可行方向，令

則對任意 ，有 。

定義1：設 是 階實對稱矩陣，如果 ，則稱 是投影矩陣。

定理2：設 是 階投影矩陣，則

（1） 是半正定矩陣；

（2） 也是投影矩陣；

（3）線性子空間 與 正交，其中

（4）對任意 ，有唯一分解式

定理3：設 且 ，記

如果 ，則

（1） 是投影矩陣；

（2）當 時， 是 在 處的可行下降方向。

定理4：設滿足定理3的條件且，令

（1）如果，則是的點；

（2）如果，令

則是投影矩陣，且是在處的可行下降方向。