梅涅勞斯逆定理是若有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。
基本介紹
- 中文名：梅涅勞斯逆定理
- 類型：定理
- 領域：幾何
- 滿足：AF/FB×BD/DC×CE/EA=1
定理,證明方式,注意,
定理
注意定理中提到的三個點的位置，在梅涅勞斯逆定理中，三個點要么只有兩個在三角形邊上，要么一個都不在三角形邊上。
即：該逆定理成立的前提是三個點有偶數個點在三角形邊上。
否則為塞瓦定理逆定理。
證明方式
已知：E、F是△ABC的邊AB、AC上的點，D是BC的延長線的點，且有：(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
求證：E、F、D三點共線。
思路：採用反證法。先假設E、F、D三點不共線，直線DE與AB交於P。再證P與F重合。
證明：先假設E、F、D三點不共線，直線DE與AB交於P。
由梅涅勞斯定理的定理證明（如利用平行線分線段成比例的證明方法）得：
(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∴ AP/PB=AF/FB ；
∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；
∴ AB/PB=AB/FB ；
∴ PB=FB；即P與F重合。
∴ D、E、F三點共線。
注意
首先我們已知圖中的直線關係：三角形一邊的延長線上一點與相鄰邊上一點的連線與另一邊相交於一點，然後再來求各個邊的關係。
梅涅勞斯的功勞在於，他根據上圖的現象，發現了關係式：AF/FB×BD/DC×CE/EA=1
然後反過來再證明，如果滿足這個關係，那么那條線是直線
總之：從現象發現等式，再從等式反推現象，這兩個工作使得這一發現成為定理。
問題：
梅涅勞斯是怎么根據圖中的現象發現或者計算出等式AF/FB×BD/DC×CE/EA=1 ？
這個問題請大家思考。
