梅林變換

在數學中，梅林變換是一種以冪函式為核的積分變換。

基本介紹

• 中文名：梅林變換
• 外文名：Mellin transform
• 分類：積分變換、複分析
• 領域：數理科學

定義

定義式如下：

而其逆變換為

梅林變換有許多套用，例如可以證明黎曼ζ函式的函式方程。

與其他變換之關係

雙邊拉普拉斯變換

雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示，如下式

梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示，如下式

傅立葉變換

傅立葉變換可以用梅林變換來表示，如下式

梅林變換變換也可以用傅立葉來表示，如下式

範例

Cahen–Mellin 積分

對於 ，且 在主要分支（principal branch）上，我們有

其中 為 Γ函式。

數論

假設

我們有

其中

圓柱坐標系下的拉普拉斯運算元

在任何維度的圓柱坐標系中，拉普拉斯運算元總是會包含下式

例如，拉普拉斯運算元在二維空間的極坐標表示法

或是在三維空間的柱坐標表示法

而利用梅林變換可以很簡單的處理此項

舉例來說，二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式

或是

利用梅林變換，可以轉換成一個簡諧振子的形式

通解為：

給定邊界條件

其梅林變換為

則通解可以寫成

最後利用逆變換以及卷積定理

其中

可以得到