格雷貝作圖法(Grebe construction method)是求作三角形的陪位重心的一種方法。自三角形△ABC各邊向外作正方形得正方形BCPP′，CAQQ′和ABRR′，設QQ′與RR′，RR′與PP′，PP′與QQ′分別交於點X，Y，Z，則AX，BY，CZ三直線交於△ABC的陪位重心。用這個方法來求作三角形的陪位重心稱為格雷貝作圖法。
基本介紹
- 中文名：格雷貝作圖法
- 外文名：Grebe construction method
- 所屬學科：數學（幾何學）
- 別名：格列伯作圖法
- 提出者：格雷貝( Crebe, 1804-1874)
- 特點：自三角形△ABC各邊向外作正方形
基本介紹,格雷貝作圖法的證明,格雷貝三角形,
基本介紹
三角形每條中線的等角線叫做陪位中線或類似中線，三條陪位中線的交點，即重心的等角共軛點，叫做陪位重心或類似重心。圖1中AD、BE、CF是三角形ABC的三條中線，AK、BK、CK是陪位中線，K點是陪位重心。
格雷貝作圖法 如圖2，在△ABC的外邊作正方形BCPP'、CAQQ'、ABRR'，設QQ'與RR’、RR'與PP'、 PP'與QQ' 的交點各為X、Y、Z，則AX、BY、CZ三線會於△ABC的陪位重心，按此法求三角形的陪位重心，稱為格雷貝(Grebe)作圖法。
圖1
圖2 格雷貝作圖法
格雷貝作圖法的證明
在△ABC三邊上向外作正方形ABEF，BCXY，CANM，如圖3。
(1)過點A作AH⊥FN，H為垂足，AH交BC於點G，如圖3，則BG= CC。
(2)設EF分別與MN和XY相交於點D和P，MN和XY相交於點Q，則DA，BP，CQ都過△ABC的陪位垂心。
圖3
提示 (1)過B和C兩點作BS⊥AG⊥CR，S和R為垂足，如圖3.
證Rt△AHF≌Rt△BSA和Rt△AHN≌Rt△CRA，...。
(2)證A，F，D，N四點共圓，....，由(1)知AG是BC邊上的中線，設AD交BC於點Z，證∠BAZ=∠GAC，即AZ是△ABC邊BC上中線AG的陪位中線，...。
格雷貝三角形
自三角形各邊向外作正方形，延長與三角形三邊相對的正方形邊長，所圍成的三角形，稱為外格雷貝(Grebe)三角形，如圖4。
圖4
與上述作法完全相似，只不過三個正方形是向形內所作出的，這樣得出的三角形稱為內格雷貝三角形，如圖5。
圖5
外、內格貝格三角形有豐富的性質，特別是與近百個三角形位似或透視，下面僅舉數例。
(2) 外格雷貝三角形與下列三角形透視：垂足三角形；等角中線三角形；外心的反切瓦三角形；切線三角形；垂足三角形；外心的反垂足三角形；內肯姆塔點的反垂足三角形；共軛重心的外接切瓦三角形；反射三角形；第二勃羅卡三角形。
(3) 內格雷貝三角形與下列三角形位似：△ABC；中點三角形；反補三角形；外心的垂足三角形；垂心的反垂足三角形；外心的外接切瓦三角形；歐拉三角形；詹森三角形。
(4) 內格雷貝三角形與下列三角形透視：垂足三角形；等角中線三角形；外心的反切瓦三角形；切線三角形；垂足三角形；外心的反垂足三角形；共軛重心的外接切瓦三角形；反射三角形；第二勃羅卡三角形；外肯姆塔點的反垂足三角形。
