彈性力學中的一類問題，指柱體在側面不受力，而僅在兩端面上受力的扭轉和彎曲問題。工程中的軸和梁等桿件均為柱體。
基本介紹
- 中文名：柱體扭轉和彎曲
- 外文名：Torsion and bending of cylindrical bar
簡介,扭轉,半逆解法,薄膜比擬,彎曲,半逆解法,薄膜比擬,研究現狀,
簡介
A. J. C. B. de聖維南於1855年和1856年先後解決了扭轉和彎曲問題。澳大利亞的J.H. 米歇爾於1901年和1905年分別解出了幾種分布載荷下的彎曲問題和變截面柱體的扭轉問題。L.普朗特於1903年和S.P. 鐵木辛柯於1913年利用引進應力函式（見應力函式和位移函式）的方法分別解決了以應力分量為基本未知函式的扭轉和彎曲問題。
柱體扭轉和彎曲問題屬於僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用聖維南原理，將邊界條件放鬆，即認為離端面足夠遠處的應力僅與端面上外力的合力及合力矩有關。這种放鬆了邊界條件的問題稱為聖維南問題。根據實驗，聖維南假設，柱體縱向纖維之間的作用力為零。聖維南問題的解是唯一的，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應力分量或位移分量中假設一部分未知函式的形式，然後將所假設的未知函式代入基本方程，並使全部的未知函式滿足所給定的邊界條件由此求得另外一部分未知函式。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉和彎曲問題中的未知量。用彈性力學方法得到的結果，其精度高於材料力學中以平截面假設為基礎的結果。
扭轉
考慮等截面柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，柱體兩端在xy面內受扭矩T的作用。在非圓形截面柱體的扭轉問題中，截面不僅產生轉動，而且產生翹曲。下面介紹求解這類問題的半逆解法和薄膜比擬方法。
半逆解法
由於單位柱長上截面的相對轉角θ較小，所以，x和y方向的位移u和v可認為是由截面作整體轉動引起的。由此可假設u=－θzy，v=θzx，並假設z方向的未知位移分量為w=θψ（x，y），式中ψ（x，y）稱為聖維南函式或翹曲函式，它滿足的基本方程式為：
邊界條件為：
式中s為邊界S的周向長度。求出ψ後，根據ψ與應力分量的關係以及平衡關係，可求出θ，進而可確定位移分量和應力分量。
以應力分量為基本未知函式求解扭轉問題時，根據聖維南的假設，正應力和xy平面內的剪應力為零，即
，只有z平面上的剪應力是未知的，並表示為
（註：txy和tyx分別改為tzx和tyz）式中Ψ（x、y）稱為普朗特函式或扭轉應力函式，它滿足的方程為：
其邊界條件為：
式中G為拉梅常數，又稱剪下模量；表示Ψs在邊界S上的值。
在求得Ψ後，利用有關方程便可得到其餘未知函式。對於外凸狀的截面，最大剪應力出現在離截面中心最近的截面邊界處。
薄膜比擬
研究承受均勻橫向壓力作用的彈性薄膜的變形問題可以發現，當薄膜中的某呰物理量（如壓力和表面張力）和柱體扭轉問題中的某些物理量（如單位長度的扭轉角θ和剪下模量G）之間滿足一定的關係時，扭轉問題中的物理量的數值可由和柱體截面形狀相同的薄膜中相應的物理量的數值來確定。例如，柱體中任意一點剪應力分量可由薄膜對應點處與剪應力垂直的方向上薄膜的斜率來確定。由此可以得出結論：剪應力合力的方向是薄膜等高線的切線方向，最大剪應力出現在薄膜等高線最稠密的點。
在略去局部應力的影響後，用薄膜比擬法求得的狹矩形截面柱體的扭轉結果可用於求解開口薄壁桿件的扭轉。若用薄膜比擬法求解具有兩個或兩個以上邊界的薄壁桿件的扭轉問題，則需要將內邊界用無重量的剛性平板來代替，並利用薄膜罩住的體積的兩倍等於扭矩的關係以及剪應力環量公式聯立求解，這樣便可得到剪應力分量。所謂剪應力環量公式就是剪應力在薄膜等高線上的積分為常數，即
式中A為等高線所包圍的面積。
彎曲
考慮等截面懸臂柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，取截面上兩個主軸（見截面的幾何性質）為x軸和y軸。柱體在自由端受平行於x軸的力P而彎曲。
半逆解法
假設柱體橫截面內的應力為零，而沿z軸方向的應力
，式中I為橫截面對y軸的慣性矩；l為柱體長度。未知的應力分量表示為：
式中
稱為鐵木辛柯函式或彎曲應力函式；f（y）是由邊界條件確定的函式。求解彎曲應力函式的基本方程式為：
式中v為泊松比；C為積分常數。在力P沿x軸方向而x軸為截面對稱軸的情況下C=0；對於非對稱截面，在只有彎曲而不產生扭轉的情況下C=0。若在邊界上取
則對於單連通截面，邊界條件為
s=0，s為在邊界上的值。
對於正方形截面的懸臂樑的彎曲，若取v=0.3，則所得到的剪應力分量的值比按材料力學公式所得到的近似結果約大15%。
薄膜比擬
懸臂柱體的彎曲問題可同僅受均勻拉力作用的薄膜進行比擬。比擬時應將薄膜張緊在一個和柱體截面形狀相同的水平孔上，薄膜的高度即為截面上相應點的應力函式，將得到的代入下式便可得到剪應力分量：
研究現狀
截面為圓形、橢圓形、等邊三角形以及矩形等簡單形狀柱體的扭轉和彎曲問題已經得到了精確解答。薄壁桿件的扭轉問題也得到了比較滿意的結果。由於對複雜形狀截面柱體的扭轉和彎曲問題尚缺乏簡便的計算方法，因此，經常採用近似計算方法或實驗方法加以解決。
