柱諧函式

在數學中，柱諧函式是指在柱坐標中，拉普拉斯方程的一系列的解。有時候，柱諧函式也用來指代貝塞爾函式（柱諧函式最重要的組成部分）。

基本介紹

• 中文名：柱諧函式
• 外文名：Cylindrical Harmonic Function
• 作用：用來指代貝塞爾函式
• 學科：數學
• 定義：柱坐標中拉普拉斯方程的解
• 相關術語：球諧函式

概念

在數學中，柱諧函式是指在柱坐標中，拉普拉斯方程，的一系列的解。每一個柱諧函式都是三個函式的積：

其中是柱坐標下的坐標（分別為半徑、極角和高度），而n和k則是兩個常數，用以區分不同的柱諧函式。所有的柱諧函式一起，組成一組正交完備的基底，任何一個拉普拉斯方程的解都可以寫成這些函式的線性組合。

有時候，柱諧函式也用來指代貝塞爾函式（柱諧函式最重要的組成部分）。

本徵方程推導

柱坐標下的拉普拉斯方程為：

使用分離變數法，設：

代入拉普拉斯方程，得到：

分離變數後，可以寫成：

整理得

本徵方程求解

這裡，是一個以為周期的函式，即滿足周期性邊界條件，因此 n必須為非負整數。可以解出：

或，等價地：

這裡，花括符表示，兩個解是簡併的。即對於一個n，方程有兩個線性無關的解（n=0時除外）。

對於 Z的方程， k可以是任意一個複數。對於一個特定的 k，方程有兩個線性無關的解。若k是一個實數，則：

或，等價地：

若k是一個純虛數，則：

或，等價地：

對於周期性邊界條件，k取分立值；對於非周期性邊界條件，k取連續值。

而P的方程則是一個貝塞爾方程，它的解形式如下。若k=0，則該方程簡化為一個歐拉方程：

若k是一個非零實數，則方程的解為第一類和/或第二類貝塞爾函式：

若k是一個純虛數，則方程的解為修正貝塞爾函式：

最終，柱諧函式可以表達為以上三個函式的乘積，。

正交完備性

柱諧函式是正交完備的。正交性是指：

其中，為克羅內克符號，為歸一化係數。

完備性是指，對於柱坐標下的任何一個拉普拉斯方程的解均可以寫成若干個柱諧函式的線性疊加。

，k取分立值

，k取連續值