李(Lie)微商,是在概念上與協變微商完全不同的另一種微商,或者稱作一種新的求導法則。它是定義張量場在映射意義下的微商,也即李微商。
基本介紹
定義,引入,推導,一般形式,高階形式,套用,兩個特點,套用舉例,
定義
引入
作為引入李微商的準備,先要建立一個映射的概念。
我們一直將形如
的關係式








有了映射的表述,接下來開始考慮無窮小映射。無窮小映射是指對應點的坐標差是一個無窮小量。它的一般表示式為










推導
一般形式
由引入中的平移以及向量的概念,可以初步定義李微商是





先看標量場
。我們定義



再看逆變矢量場
。我們用直觀的辦法來引入
。過
點作一曲線
,使它在
點的切矢量就是
。即





















這樣
作為
的映射,它就代表了
。











由標量的李微商公式
,


把它與
的李微商公式
一併代入
,注意到
是任意矢量場,我們得到





高階形式
高階張量場的李微商公式可以用類似的方法來做。但我們不再推導,直接寫出三個二階張量的李微商公式:



更高階的結論也是類似的。
套用
兩個特點
對李微商應注意到兩個特點:
- 它不僅取決於被微商的張量場,還取決於映射的生成元;
- 它不需要有聯絡(例如,克里斯多夫聯絡)。但是如果規定了聯絡,李微商也可以用協變微商來表示。
容易驗證,若把上面的張量場李微商公式右方的普通微商代換成協變微商,它們仍然是成立的,因為顯含聯絡的項會自動抵消。
套用舉例
作為套用的例子,我們計算度規場的李微商。利用
,並把其中的普通微商改為協變微商,得到:


考慮到
的協變微商是零,它化為

