有限仿射平面

有限仿射平面是一類組合構形，它是從有限射影平面PG(2,q)中去掉一條線,由余下的點和線構成的,記為EG(2,q),q為仿射平面的階數.EG(2,q)有q個點,q+q條線,每條線上有q個點.q2+q條線可分為q+1組,每組的q條線兩兩不相交,構成平行線組.若把線取作區組,則由EG(2,q)可得一個仿射可分解的(q,q,1)-BIBD.

基本介紹

• 中文名：有限仿射平面
• 外文名：finite affine plane
• 所屬領域：數理科學
• 相關概念：有限射影平面

定義

有限仿射平面是與有限射影平面密切相關的另一類關聯結構，它為可分解BIB設計提供了最重要的例子．下面給出有限仿射平面的公理化定義．

設∏=(V， A，I)為一個有限關聯結構，V與A的元素分別叫做點與直線．若下列公理滿足:

A1：任意不同的兩點p1與p2都同時包含在唯一的一條直線中；

A2：對任意給定的直線L及不在L上的一點p。都有唯一的一條過點p且與L不相交的直線；．

A3：V中存在不共線的3點．則稱∏為一個有限仿射平面(finite affine plane)．

設L與M有限反射平面n中的兩條直線,若L與M不相交或L=M則稱L與M平行,記作L//M.

相關定理

與有限射影平面的關係

定理1 任一有限射影平面的剩餘設計都是一個有限仿射平面．反之，任一有限仿射平面都可看作某個有限射影平面的剩餘設計．

定義1 若有限仿射平面∏是某個n階射影平面的剩餘設計。則稱∏為一個n階仿射平面(affine plane of order n)．

定理2 每一個n階仿射平面都是一個B(n,1；n)．反之。每一個B(n,1；n)都是一個n階仿射平面。因而都是可分解的．

定理3 設n≥2,則存在n階仿射平面的充分必要條件是存在n階正交拉丁方的完備組．

定理4 設n≥2，則下列命題彼此等價：

(i)存在n階正交拉丁方完備組；

(ii)存在正交陣列OA(n,l；n+1)；

(iii)存在橫截設計TD(n+1,1；n)；

(iv)存在可分解橫截設計RTD(n,1；n)；

(v)存在n階射影平面；

(vi)存在n階仿射平面。