有界完全統計量

有界完全統計量(boundedly complete statistic)是常用的一類完全統計量，設(X，B_X，P)是一個統計結構，其中P={P_θ：θ∈Θ}，如果對於B_X可測的有界函式φ(X)，由ᗄθ∈Θ，有E_θφ(X)=0，可推出φ(X)=0，a.s. 對P中任一分布成立，則稱此統計結構為有界完全(備)的，或稱分布族P是有界完全(備)的，如果統計量t(X)的誘導統計結構(T，B_T，P^T)是有界完全的，則稱統計量t(X)是有界完全統計量。

基本介紹

• 中文名：有界完全統計量
• 外文名：boundedly complete statistic
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：統計學(統計基礎)
• 相關概念：有界完全性、完全統計量等

定義

設變數X的樣本空間為分布族為為定義於取值於的統計量，其分布族為若對任何滿足條件

的有界 可測函式，必有對一切，則稱分布族為有界完全的.若為有界完全的，則稱為有界完全統計量。

相關結論及定理

顯然，完全的分布族或統計量必為有界完全的，下面的例子說明，此事實之逆不成立。

例1設，分布族為

設對一切則

即

此式兩邊為的冪級數，在內收斂，故其對應項係數必相同，即

若要求有界，則由此知必須有，因而

這證明了為有界完全的。但它不為完全，因若取，當則易見對一切，但並不為1。

關於有界完全性有下面有趣的定理。

定理1 設X的樣本空間和分布族為及，而為一有界完全統計量，取值於內，且為充分統計量，則對任何定義於的有限-可測函式，當的分布與無關時,對一切與獨立。

值得注意的是: 本定理之逆不真。

由於指數族有完全(因而有界完全)和充分的統計量，故由以上定理得到:

系1 設X的分布族為指數族

而作為的子集有內點：則對任何(定義於且取值於某可測空間)，當的分布與無關時，對任何必與獨立(在這個具體情況下可以證明，上述事實之逆亦真)。